cho x,y,z là các số thực thuộc khoảng (0;1) và thỏa mãn xyz=(1-x)(1-y)(1-z). CMR: \(x^2+y^2+z^2>\dfrac{3}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 11 2019
Từ giả thiết , ta có :
\(xyz=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\left(1\right)\)
\(\Rightarrow1=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)\left(\frac{1}{z}-1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức sau : \(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\) ta có :
\(1=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)\left(\frac{1}{z}-1\right)\le\left(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-3}{3}\right)^3\)
\(\Rightarrow3\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-3\)
\(\Rightarrow6\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow6xyz\le xy+yz+zx\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra:
\(3-3\left(x+y+z\right)+3\left(xy+yz+zx\right)=6xyz\le xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow0\ge3-3\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\)
Cộng 2 vế của bất đẳng thức trên cho \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\)ta được:
\(x^2+y^2+z^2\ge\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z+3\right)=\left(x+y+z-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
10 tháng 11 2019
ta có:
xyz=(1-x).(1-y).(1-z) (1)
=>1=(1:x-1).(1:y-1).(1:z-1)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 4 2021
Do \(x\in\left[-1;2\right]\Rightarrow\)\(\left(x+1\right)\left(x-2\right)\le0\Leftrightarrow x^2\le x+2\)
Tương tự: \(y^2\le y+2\) ; \(z^2\le z+2\)
Cộng vế: \(x^2+y^2+z^2\le x+y+z+6=6\) (đpcm)
Mặt khác \(x;y;z\in\left[-1;2\right]\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow2xyz+2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow2xyz+2\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2xyz+2\ge x^2+y^2+z^2\) (đpcm)
6 tháng 2 2020
Ta có: \(\left(\sqrt{x+y}\right)^2=\left(\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y=x+y-2z+2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(\Leftrightarrow2z=2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
Theo giả thiết, ta có:
6 tháng 2 2020
theo giả thiết, ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\)\(\Rightarrow\frac{x-z}{zx}=\frac{1}{y}\Rightarrow x-z=\frac{zx}{y}\)
Tương tự, ta có: \(y-z=\frac{zy}{x}\)
Do đó: \(2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=2\sqrt{\frac{zx}{y}.\frac{zy}{x}}=2z\) (1)
ta có: \(\left(\sqrt{x+y}\right)^2=\left(\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2z=2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)(2)
Thay (2) vào (1) ta thấy (2) luôn đúng
Suy ra ĐPCM
N
17 tháng 12 2018
\(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=\frac{z}{c}+\frac{x}{a}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{z}{c}\\\frac{z}{c}+\frac{x}{a}=\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\\\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{z}{c}+\frac{x}{a}\Rightarrow\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\end{cases}}\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{z}{c}=\frac{y}{b}.\text{đăt}k=\frac{x}{a}=\frac{z}{c}=\frac{y}{b}\Rightarrow x=ak,z=ck,y=bk\)
ta có: \(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{k^2.\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)}=k^2\Rightarrow k^2=2k\Rightarrow k^2-2k=0\Rightarrow k.\left(k-2\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}k=0\\k=2\end{cases}\text{mà a,b,c và x,y,z khác 0. }\Rightarrow k=2\Rightarrow x=2a,y=2b,z=2c}\)
p/s: bài nì khó chơi vc =.=" sai sót bỏ qua ^^'
