Hỏi đáp Số nguyên tố

Cần có \(x^4+4\)là số nguyên tố nên ta đặt \(x^4+4=p\)với p là số nguyên tố roi giải PT nghiệm nguyên cho x theo p.

Có \(x^4+4=\left(x^2+2\right)^2-4x^2=\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+2x+2\right)=p\)

Khi đó \(\left(x^2-2x+2\right),\left(x^2+2x+2\right)\inƯ\left(p\right)=\left\{1;p\right\}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-2x+2=1\\x^2+2x+2=p\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\p=5\end{cases}}}\)

Giả sử rằng \(a+b+c+d\) là hợp số

Ta dễ có được: \(a^n+b^n+c^n+d^n-\left(a+b+c+d\right)⋮2\)

Mà \(a^n+b^n+c^n+d^n>2\rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n\) là hợp số

Xét trường hợp \(a+b+c+d\) là số nguyên tố

Đặt \(a+b+c+d=p\Rightarrow a=p-b-c-d\Rightarrow ab=pb-b^2-bc-db\)

\(\Leftrightarrow cd=pb-b^2-bc-db\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(b+d\right)=pb\)

Do p là số nguyên tố nên \(\orbr{\begin{cases}b+c⋮p\\b+d⋮p\end{cases}}\Rightarrow b+c>a+b+c+d\left(v\right)b+d>a+b+c+d\) * vô lý *

Vậy ta có đpcm

Một bài tập ứng dụng của bài toán trên ( được coi là bổ đề )

Tìm các số nguyên dương a;b thỏa mãn \(a^3+3\) là số chính phương và \(a^2+2\left(a+b\right)\) là số nguyên tố

^_^

Đây là một bài toán hay áp dụng phương pháp phân tử ,  lời giải như sau

Xét \(M=x^{32}-x^{24}+2x^{23}+x^{18}-2x^{17}-x^{10}+2x^9+1\)Phân tích M thành nhân tử ta được 

\(M=\left(x^9+x^7+1\right)\cdot\left(x^{23}-x^{21}+x^{19}-x^{17}+x^{14}-x^{10}+x^9-x^7+1\right)\)(Phần phân tích các bạn tự làm nhé )

Suy ra nếu \(x\in Z\)thì M chia hết cho \(x^9+x^7+1\)

Với x=2 thì \(M=2^{32}-2^{24}+2\cdot2^{23}+2^{18}-2\cdot2^{17}-2^{10}+2\cdot2^9+1=2^{32}+1\)Mặt khác do 2 nguyên nên M chia hết cho \(2^9+2^7+1=641\)Suy ra M là hợp số 

      Vậy \(2^{32}+1\)không là số nguyên tố  

Đây là 1 bài toán cực nổi tiếng lun.

Liên quan tới 1 giả thiết của Fermat cho rằng \(2^{2^n}+1\)Là các số nguyên tố

Tuy nhiên khi xét tới n=5 tức là \(2^{2^5}+1=2^{32}+1\)thì lại sai

Vì \(\frac{2^{32}+1}{641}=6700417\)Tức là chia hết cho 641

Vậy kết quả cuối cùng là ko phải số nguyên tố nha ! :))

\(2^{32}+1=4294967297⋮3\) => ko phải là số nguyên tố

Số nguyên tố là số chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. Số 2; 3; 5; 7 là các số nguyên tố nhỏ nhất                                                                           Hợp số là số có nhiều hơn 2 ước.                                                                                                                                                                       Muốn phân biệt được số nguyên tố và hợp số ta phải:                                                                                                                              - ---  -Thuộc lòng dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 7                                                                                                                                                                                  

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn. Nói cách khác, số nguyên tố là những số chỉ có đúng hai ước số là 1 và chính nó. Các số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là các hợp số.

\(p\) là số nguyên tố lẻ nên p có thể có dạng \(5k+1\)

Khi đó:\(p^2+2014=\left(5k+1\right)^2+2014=25k^2+10k+2015⋮5\) và \(p^2+2014>5\) 

Do đó p² + 2014 là hợp số. Vậy p² + 2014 là hợp số

P mũ 2 + 2014 là hợp số

Với n = 0 => A = 0³ - 2.0² + 2.0 - 4 = -4 ko là số nguyên tố

 n = 1 => A = 1³ - 2.1² + 2.1 - 4 = 1 - 2 + 2 - 4  = -3 ko là số nguyên tố

n = 2 => A = 2³ - 2.2² + 2.2 - 4 = 0 ko là số nguyên tố

n = 3 => A = 3³ - 2.3² + 2.3 - 4 = 11 là số nguyên tố

Với n \(\ge\)4 => A = n³ - 2n² + 2n - 4 = n²(n - 2) + 2(n - 2) = (n² + 2)(n - 2) có nhiều hơn 2 ước

=> A là hợp số

Vậy Với n = 3 thì A là số nguyên tố

Ta có: \(p^2=8q+9\)

<=>\(p^2-9=8q\)

<=>\(\left(p-3\right)\left(p+3\right)=8q\)

Do q là số nguyên tố=> q chia hết cho 1 hoặc chính nó =>Một trong hai số \(p-3\)và \(p+3\)bằng 8

=>\(\orbr{\begin{cases}p-3=8\\p+3=8\end{cases}}\)<=>\(\orbr{\begin{cases}p=11\\p=5\end{cases}}\)<=>\(\orbr{\begin{cases}q=14\left(lọai\right)\\q=2\end{cases}}\)

Vậy \(p=5\)và \(q=2\)

\(p^2+2q^2=41\Rightarrow41-2q^2=p^2\Rightarrow p^2\) là số lẻ

=> p=2k+1 (k thuộc N*), thay vào=> q²=2k(k+1)-20

=> q chẵn mà q là số nguyên tối nên q=2

=> p²=49 => p=7

+) \(p=2\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}p+1=2+1=3\\3p+1=3.2+1=7\end{cases}}\)

Vì \(3\) và \(7\)là các số nguyên tố nên \(p=2\) (thỏa mãn)

Với \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(2\)\(\Rightarrow p\)có dạng \(2k+1\)   \(\left(k\inℕ^∗\right)\)

+) \(p=2k+1\Rightarrow p+1=2k+2⋮2\)

Vì \(2k+2>2\) nên \(2k+2\) là hợp số

\(\Rightarrow p=2k+1\)  (loại)

Vậy \(p=2\).

Cảm ơn bạn rất nhiều