Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{xz}{x+z}\)
=> \(\frac{xyz}{xz+yz}=\frac{xyz}{xy+xz}=\frac{xyz}{xy+yz}\)
=> \(xz+yz=xy+xz=xy+yz\)(vì x ; y ;z \(\ne0\Leftrightarrow xyz\ne0\))
=> \(\hept{\begin{cases}xz+yz=xy+xz\\xy+xz=xy+yz\\xz+yz=xy+yz\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}yz=xy\\xz=yz\\xz=xy\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}z=x\\x=y\\y=z\end{cases}}\Rightarrow x=y=z\)
Khi đó M = \(\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}=1\left(\text{vì }x=y=z\right)\)
\(x;y;z\ne0\). Giả thiết của đề bài:
\(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{xz}{z+x}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{y+z}{yz}=\frac{x+z}{xz}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}.\)
=> x = y = z
Do đó, M = 1.
Nếu một trong 3 số x, y, z bằng 0 thì từ 2 đẳng thức đầu ta cũng suy ra 2 số còn lại bằng 0, trái với giả thiết cuối x + y + z khác 0.
Vậy cả 3 số x, y, z khác 0.
Vì \(x^2=yz\) và \(y^2=xz\) nên suy ra \(z=\frac{x^2}{y}=\frac{y^2}{x}\) => \(x^3=y^3\)
Suy ra \(x=y\). Thay vào 1 trong 2 đẳng thức đầu tiên ta suy ra: \(x^2=yz=x.z\). Do x khác 0 nên suy ra \(x=z\).
Vậy ta có \(x=y=z\).
Vậy \(\frac{\left(x+y+z\right)^{999}}{x^{222}y^{333}z^{444}}=\frac{\left(3x\right)^{999}}{x^{222}x^{333}x^{444}}=3^{999}\)