K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

15 tháng 11 2017

Cộng x với z

ra HĐT suy ra 

\(x+z=\left(a-b\right)^2+\left(c-d\right)^2+a^2+c^2\)

do a,b,c,d>0 nên x+z>0 vậy 1 trong 2 số có ít nhất 1 số dương 

tương tự tự làm nhé

15 tháng 11 2017

cảm ơn nhé

11 tháng 11 2017

cộng cả 4 số => dương => ít nhất 1 số dương 

11 tháng 11 2017

bạn nói rõ hơn đc ko

27 tháng 10 2018

\(x+z=2a^2+b^2-2cd+2c^2+d^2-2ab=\left(a-b\right)^2+\left(c-d\right)^2+a^2+c^2>0\)

Nên có ít nhất 1 số dương

Tương tự:\(y+t>0\) nên có 1 số dương

Hay có đpcm

29 tháng 1 2020

a) Ta có:

\(\frac{2a+b}{a+b}+\frac{2b+c}{b+c}+\frac{2c+d}{c+d}+\frac{2d+a}{d+a}=6\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(\frac{2a+b}{a+b}-1\right)+\left(\frac{2b+c}{b+c}-1\right)-1\right]+\left[\left(\frac{2c+d}{c+d}-1\right)+\left(\frac{2d+a}{d+a}-1\right)-1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}-1\right)+\left(\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a.\left(b+c\right)}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}+\frac{b.\left(a+b\right)}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}-\frac{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}\right)+\left(\frac{c.\left(d+a\right)}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}+\frac{d.\left(c+d\right)}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}-\frac{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{ab+ac}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}+\frac{ab+b^2}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}-\frac{ab+ac+b^2+bc}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}\right)+\left(\frac{cd+ac}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}+\frac{cd+d^2}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}-\frac{cd+ac+d^2+ad}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{ab+ac+ab+b^2-ab-ac-b^2-bc}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}\right)+\left(\frac{cd+ac+cd+d^2-cd-ac-d^2-ad}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab-bc}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}+\frac{cd-ad}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab-bc}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}=-\frac{cd-ad}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab-bc}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}=\frac{ad-cd}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{b.\left(a-c\right)}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}=\frac{d.\left(a-c\right)}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{b}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}=\frac{d}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}\) (vì \(a;b;c;d\) là số nguyên dương).

\(\Leftrightarrow b\left(c+d\right).\left(d+a\right)=d\left(a+b\right).\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(bc+bd\right).\left(d+a\right)=\left(ad+bd\right).\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow bcd+abc+bd^2+abd=abd+acd+b^2d+bcd\)

\(\Leftrightarrow bd^2+abc=b^2d+acd\)

\(\Leftrightarrow bd^2-b^2d=acd-abc\)

\(\Leftrightarrow bd.\left(d-b\right)=ac.\left(d-b\right)\)

\(\Leftrightarrow bd.\left(d-b\right)-ac.\left(d-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(d-b\right).\left(bd-ac\right)=0\)

\(a;b;c;d\) là số nguyên dương.

\(\Rightarrow d-b>0\)

\(\Rightarrow d-b\ne0.\)

\(\Leftrightarrow bd-ac=0\)

\(\Leftrightarrow bd=ac.\)

Lại có:

\(A=abcd\)

\(\Rightarrow A=ac.bd\)

\(\Rightarrow A=ac.ac\)

\(\Rightarrow A=\left(ac\right)^2.\)

\(\Rightarrow A=abcd\) là số chính phương (đpcm).

Chúc bạn học tốt!

NV
29 tháng 2 2020

Hai BĐT đều có dấu "=" xảy ra

a/ \(\Leftrightarrow x^7-x^4y^3+y^7-x^3y^4\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^4\left(x^3-y^3\right)-y^4\left(x^3-y^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-y^4\right)\left(x^3-y^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

b/ Áp dụng câu a:

\(VT\le\sum\frac{a^2b^2}{a^3b^3\left(a+b\right)+a^2b^2}=\sum\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\sum\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}=\sum\frac{c}{a+b+c}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)