Question

[Destroyer]

cho a^3+b^3+c^3=3abc và a,b,c đôi một khác nhau. CMR a+b+c=0

Answer 1

[Đinh Đức Hùng]

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)+c^3-3abc-3a^2b-3ab^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3abc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)

Vì a;b;c đôi 1 khác nhau nên \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ne0\)

\(\Rightarrow a+b+c=0\) (đpcm)

Answer 2

[Trà My]

chuyển vế -> phân tích a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) -> cm a²+b²+c²-ab-bc-ca >= 0

ta có: a²+b²+c²-ab-bc-ca >= 0 <=> 2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca >= 0 <=> (a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ca+a²) >=0

<=>(a-b)²+(b-c)²+(c-a)² >=0

dấu "=" xảy ra khi a=b=c mà a,b,c đôi một khác nhau => a²+b²+c²-ab-bc-ca khác 0 <=> a+b+c=0