Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
giải phương trình nghiệm nguyên :
\(\sqrt{x-2008}+\sqrt{y-2009}+\sqrt{z-2010}+3012=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
b là trung bình cộng của a và c \(\Rightarrow b=\frac{a+c}{2}\)
\(VT=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-\frac{a+c}{2}}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\frac{a+c}{2}-c}\)
\(=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\frac{a-c}{2}}=\frac{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}=VP\)
muốn hỏi thì copy link rồi hỏi nhé bạn!!
https://olm.vn/bg/luyenthichuyen/thao-luan
Ta có: \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^2=a+2\sqrt{ac}+c=2b+2\sqrt{ac}\)(1)
Lại có: \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2\sqrt{b}+\sqrt{a}+\sqrt{c}}{b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}\)
\(=\frac{\left(2\sqrt{b}+\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}{\left(b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\)(Nhân cả tử & mẫu với \(\sqrt{a}+\sqrt{c}\))
\(=\frac{2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^2}{\left(b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\)(2)
Thế (1) và (2) => \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)\(=\frac{2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2b+\sqrt{ca}}{\left(b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}=\frac{2\left(b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}{\left(b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}.\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)(đpcm).
bài này hay đấy
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm, ta có :
\(\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}.\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}.\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}}=3\)
Chứng minh \(\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\le3+a+b+c\)( 1 )
đặt \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)( x,y,z \(\ge\)0 )
do a,b,c là số nguyên
Nếu a = b = c = 0 thì x = y = z = 0 nên ( 1 ) đúng
Nếu a,b,c không đồng thời bằng 0 \(\Rightarrow\)x+ y + z \(\ge\)1
Ta có : VT ( 1 )
\(\Leftrightarrow\frac{\left(1+x\right)\left(1+y\right)-\left(1+x\right)y}{1+y}+\frac{\left(1+y\right)\left(1+z\right)-\left(1+y\right)z}{1+z}+\frac{\left(1+z\right)\left(1+x\right)-\left(1+z\right)x}{1+z}\)
\(=3+x+y+z-\left[\frac{\left(1+x\right)y}{1+y}+\frac{\left(1+y\right)z}{1+z}+\frac{\left(1+z\right)x}{1+x}\right]\)
\(\le3+x+y+z-\frac{\left(1+x\right)y+\left(1+y\right)z+\left(1+z\right)x}{1+x+y+z}=3+x+y+z-\frac{x+y+z+xy+yz+xz}{1+x+y+z}\)
\(=3+\frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz}{1+x+y+z}\le3+x^2+y^2+z^2\)
Cần chứng minh : \(\frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz}{1+x+y+z}\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge xy+yz+xz\)
Mà \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge1.\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge xy+yz+xz\)
suy ra đpcm
