Question

[Trần Thu Hằng]

Cho(O;R) đường kính AB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C. Qua C vẽ đường thẳng d vuông góc với AC, M là 1 điểm trên d ( M khác C). MA cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là P; MB cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là Q. Qua P vẽ tiếp tuyến của ( O;R) cắt d tại K.

a) C/m tam giác KPM cân tại K

b) Gọi N là giao điểm của AQ vs d c/m:

+) P, B,N thẳng hàng

+)KQ là tiếp tuyến của (O;R)

Answer 1

[Hồ Sỹ Tiến]

a) góc PAB = BPK ( góc nt, góc giữa tt và dây cùng chắn cung BP) 

góc APB = 90⁰ (góc nt chắn nửa (O))

mà góc KPM phụ góc BPK ; góc PMK phụ góc PAB => góc KPM = góc PMK => tg KPM cân tại K

b) góc AQB = 90⁰ (góc nt chắn nửa (O))

Trog tg AMN có AC, MQ là hai đường cao cắt nhau tại B => B là trực tâm => NB vuông góc với AM mà BP vuông góc AM

=> P, B, N thẳng hàng

+ Xét tứ giác APCN có góc APN = góc ACN = 90⁰ nên là tứ giác nội tiếp => góc PAB = góc PNC, mà góc PAB = góc BPK (cmt)

=> góc PNC = góc BPK => tg KPN cân tại K => KP = KN, mà KP = KM => KM = KN => K là trung điểm của MN

Trog tg vuông QMN có QK là đường trung tuyến => KQ = 1/2MN = KP

=> tg OPK = tg OQK (c.c.c) => góc OQK = góc OPK = 90⁰. Vậy QK là tiếp tuyến của (O)