Câu hỏi của do thanh thuy

Question

chứng tỏ với mọi m, n là các số nguyên dương thì mn(m^30-n^30) chia hết cho 14322

Đoàn Đức Hà · Accepted Answer

Ta có: $mn\left(m^{30}-n^{30}\right)=mn\left[\left(m^{30}-1\right)-\left(n^{30}-1\right)\right]=nm\left(m^{30}-1\right)-mn\left(n^{30}-1\right)$Do đó, nếu ta chứng minh được với mọi số nguyên dương $k$thì $k\left(k^{30}-1\right)⋮14322$thì ta sẽ có đpcm. Ta có: $14322=2.3.7.11.31$.Xét $p\in\left\{2,3,7,11,31\right\}$. Nếu $k$chia hết cho $p$thì hiển nhiên $k\left(k^{30}-1\right)$chia hết cho $p$. Nếu $k$không chia hết cho $p$thì $k$nguyên tố với $p$. Theo định lí Fermat nhỏ, ta có:  $k^{p-1}-1⋮p$.Mặt khác, với mọi $p\in\left\{2,3,7,11,31\right\}$ta có $\left(p-1\right)|30$.Từ đó suy ra: $k^{30}-1⋮p$.Do vậy $k\left(k^{30}-1\right)⋮p$với mọi $p\in\left\{2,3,7,11,31\right\}$.Vậy $k\left(k^{30}-1\right)⋮14322$.Từ đây ta có đpcm. Câu trả lời: Ta có: $mn\left(m^{30}-n^{30}\right)=mn\left[\left(m^{30}-1\right)-\left(n^{30}-1\right)\right]=nm\left(m^{30}-1\right)-mn\left(n^{30}-1\right)$Do đó, nếu ta chứng minh được với mọi số nguyên dương $k$thì $k\left(k^{30}-1\right)⋮14322$thì ta sẽ có đpcm. Ta có: $14322=2.3.7.11.31$.Xét $p\in\left\{2,3,7,11,31\right\}$. Nếu $k$chia hết cho $p$thì hiển nhiên $k\left(k^{30}-1\right)$chia hết cho $p$. Nếu $k$không chia hết cho $p$thì $k$nguyên tố với $p$. Theo định lí Fermat nhỏ, ta có:  $k^{p-1}-1⋮p$.Mặt khác, với mọi $p\in\left\{2,3,7,11,31\right\}$ta có $\left(p-1\right)|30$.Từ đó suy ra: $k^{30}-1⋮p$.Do vậy $k\left(k^{30}-1\right)⋮p$với mọi $p\in\left\{2,3,7,11,31\right\}$.Vậy $k\left(k^{30}-1\right)⋮14322$.Từ đây ta có đpcm.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP