K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

30 tháng 8 2021

undefined

30 tháng 8 2021

\(VT=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{c\left(a+b+c\right)+ab}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{a\left(a+b+c\right)+bc}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{b\left(a+b+c\right)+ac}}\\ VT=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{ac+ab+bc+c^2}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{a^2+ac+ab+bc}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{ab+bc+b^2+ac}}\\ VT=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}}{2}\\\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c}}{2}\\\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ab}{a+c}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{ca}{a+b}\right)+\left(\dfrac{ca}{b+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)+\left(\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{ab}{a+c}\right)}{2}\\ \Rightarrow VT\le\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)

NV
30 tháng 8 2021

Ta chứng minh BĐT sau cho các số dương:

\(x^5+y^5\ge xy\left(x^3+y^3\right)\)

\(\Leftrightarrow x^5-x^4y+y^5-xy^4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-y^4\right)\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\ge0\) (đúng)

Áp dụng:

\(\dfrac{a^5+b^5}{ab\left(a+b\right)}\ge\dfrac{ab\left(a^3+b^3\right)}{ab\left(a+b\right)}=\dfrac{a^3+b^3}{a+b}=a^2-ab+b^2\)

Tương tự và cộng lại:

\(VT\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)=2-\left(ab+ca+ca\right)\)

\(VT\ge4-\left(ab+bc+ca\right)-2=4\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)-2\)

\(VT\ge4\left(ab+bc+ca\right)-\left(ab+bc+ca\right)-2=3\left(ab+bc+ca\right)-2\) (đpcm)

1 tháng 8 2021

mong mn giúp mk vs

NV
28 tháng 8 2021

\(\dfrac{a^2+bc}{b+c}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)-a\left(b+c\right)}{b+c}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}-a\)

\(\Rightarrow VT=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}-\left(a+b+c\right)\)

Mặt khác áp dụng \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\ge a+b+b+c+a+c=2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge2\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=a+b+c\) (đpcm)

1 tháng 8 2023

Ta có \(\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CH}=-\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}\)

\(\overrightarrow{MH}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\)

NV
22 tháng 1 2022

Mẫu số to quá nên ko nghĩ ra cách giải đẹp mắt:

Dự đoán dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\), ta cần c/m: \(A\le\dfrac{3}{16}\)

Do \(\sum\dfrac{a+1}{a^2+1+10a+20}\le\sum\dfrac{a+1}{2a+10a+20}=\sum\dfrac{a+1}{12a+20}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\sum\dfrac{a+1}{3a+5}\le\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow\sum\left(\dfrac{3a+3}{3a+5}-1\right)\le\dfrac{9}{4}-3\)

\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{3a+5}\ge\dfrac{3}{8}\Leftrightarrow\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)+10\left(a+b+c\right)+25}{\left(3a+5\right)\left(3b+5\right)\left(3c+5\right)}\ge\dfrac{1}{8}\) (quy đồng)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(a+b+c\right)+3\left(ab+bc+ca+2\left(a+b+c\right)\right)+25}{27abc+45\left(ab+bc+ca+2\left(a+b+c\right)\right)-15\left(a+b+c\right)+125}\ge\dfrac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(a+b+c\right)+52}{27abc-15\left(a+b+c\right)+530}\ge\dfrac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow47\left(a+b+c\right)\ge27abc+114\)

Điều này đúng do:

\(9=2\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca\le2\left(a+b+c\right)+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c-3\right)\left(a+b+c+9\right)\ge0\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)

Và: \(9=a+b+c+a+b+c+ab+bc+ca\ge9\sqrt[9]{a^4b^4c^4}\)

\(\Rightarrow abc\le1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}47\left(a+b+c\right)\ge141\\27abc+114\le27+114=141\end{matrix}\right.\) (đpcm)

NV
30 tháng 7 2021

Đặt vế trái là P

Ta có:

\(\dfrac{a}{b^3+ab}=\dfrac{a}{b\left(a+b^2\right)}=\dfrac{1}{b}-\dfrac{b}{a+b^2}\ge\dfrac{1}{b}-\dfrac{b}{2\sqrt{ab^2}}=\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\ge\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+1\right)\)

Tương tự và cộng lại:

\(P\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+3\right)\)

\(P\ge\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)-\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{a+b+c}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

27 tháng 8 2021

Giả sử \(c\le1\).

Khi đó: \(ab+bc+ca-abc=ab\left(1-c\right)+c\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge abc\left(1\right)\)

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn với \(a=2,b=c=0\).

Theo giả thiết:

\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc\)

\(\Leftrightarrow ab\left(c+2\right)\le4-c^2\)

\(\Leftrightarrow ab\le2-c\)

Trong ba số \(\left(a-1\right),\left(b-1\right),\left(c-1\right)\) luôn có hai số cùng dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\).

\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\ge a+b-1\)

\(\Leftrightarrow abc\ge ca+bc-c\)

\(\Rightarrow abc+2\ge ca+bc+2-c\ge ab+bc+ca\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow\) Bất đẳng thức được chứng minh.