Câu hỏi của • Zero ✰ •

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A và có AC = b ; AB = c . Hai đường trung tuyến AD ; BE cắt nhau tại G . Tìm hệ thức giữa b ; c để AD vuông góc với BE

I - Vy Nguyễn · Accepted Answer

+)Xét tam giác ABC vuông tại A $	\implies$$AB^2+AC^2=BC^2$ ( Theo định lý Py - ta - go )$	\implies$ $c^2+b^2=BC^2$$	\implies$ $BC=\sqrt{b^2+c^2}$ +)Ta có : $AD=\frac{1}{2}BC$ ( AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC ) $	\implies$ $AD=\frac{1}{2}.\sqrt{b^2+c^2}$$	\implies$ $AD=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}$+)Xét tam giác BAE vuông tại A $	\implies$ $BE^2=AB^2+AE^2$ ( Theo định lý Py - ta - go )$	\implies$ $BE^2=c^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2$$	\implies$ $BE^2=c^2+\frac{b^2}{4}$$	\implies$ $BE=\sqrt{c^2+\frac{b^2}{4}}$+)Xét tam giác ABC có :Hai đường trung tuyến AD ; BE cắt nhau tại G  $	\implies$ G là trọng tâm của tam giác ABC$	\implies$ $BG=\frac{2}{3}BE$Mà $BE=\sqrt{c^2+\frac{b^2}{4}}$ $	\implies$ $BG=\frac{2}{3}.\sqrt{c^2+\frac{b^2}{4}}$$	\implies$ $BG=\frac{2}{3}.\sqrt{\frac{4c^2+b^2}{4}}$$	\implies$  $BG=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{4c^2+b^2}}{2}$$	\implies$ $BG=\frac{\sqrt{4c^2+b^2}}{3}$+) $AD=\frac{1}{2}BC=BD=DC$ ( AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC )+)G là trọng tâm của tam giác ABC $	\implies$ $GD=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}BD=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{6}$ +)Để AD vuông góc với BE thì tam giác BGD là tam giác vuông tại G$	\implies$ $BG^2+GD^2=BD^2$ ( Theo định lý Py - ta - go ) $	\implies$ $\left(\frac{\sqrt{4c^2+b^2}}{3}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{6}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}\right)^2$$	\implies$ $\frac{4c^2+b^2}{9}+\frac{b^2+c^2}{36}=\frac{b^2+c^2}{4}$$	\implies$  $\frac{4\left(4c^2+b^2\right)}{36}+\frac{b^2+c^2}{36}=\frac{9\left(b^2+c^2\right)}{36}$$	\implies$ $16c^2+4b^2+b^2+c^2=9b^2+9c^2$$	\implies$ $17c^2+5b^2=9b^2+9c^2$$	\implies$ $8c^2=4b^2$$	\implies$ $2c^2=b^2$$	\implies$ $b=\sqrt{2c^2}$$	\implies$ $b=\sqrt{2}c$ Vậy để AD vuông góc với BE thì : $b=\sqrt{2}c$ Câu trả lời: +)Xét tam giác ABC vuông tại A $	\implies$$AB^2+AC^2=BC^2$ ( Theo định lý Py - ta - go )$	\implies$ $c^2+b^2=BC^2$$	\implies$ $BC=\sqrt{b^2+c^2}$ +)Ta có : $AD=\frac{1}{2}BC$ ( AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC ) $	\implies$ $AD=\frac{1}{2}.\sqrt{b^2+c^2}$$	\implies$ $AD=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}$+)Xét tam giác BAE vuông tại A $	\implies$ $BE^2=AB^2+AE^2$ ( Theo định lý Py - ta - go )$	\implies$ $BE^2=c^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2$$	\implies$ $BE^2=c^2+\frac{b^2}{4}$$	\implies$ $BE=\sqrt{c^2+\frac{b^2}{4}}$+)Xét tam giác ABC có :Hai đường trung tuyến AD ; BE cắt nhau tại G  $	\implies$ G là trọng tâm của tam giác ABC$	\implies$ $BG=\frac{2}{3}BE$Mà $BE=\sqrt{c^2+\frac{b^2}{4}}$ $	\implies$ $BG=\frac{2}{3}.\sqrt{c^2+\frac{b^2}{4}}$$	\implies$ $BG=\frac{2}{3}.\sqrt{\frac{4c^2+b^2}{4}}$$	\implies$  $BG=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{4c^2+b^2}}{2}$$	\implies$ $BG=\frac{\sqrt{4c^2+b^2}}{3}$+) $AD=\frac{1}{2}BC=BD=DC$ ( AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC )+)G là trọng tâm của tam giác ABC $	\implies$ $GD=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}BD=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{6}$ +)Để AD vuông góc với BE thì tam giác BGD là tam giác vuông tại G$	\implies$ $BG^2+GD^2=BD^2$ ( Theo định lý Py - ta - go ) $	\implies$ $\left(\frac{\sqrt{4c^2+b^2}}{3}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{6}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}\right)^2$$	\implies$ $\frac{4c^2+b^2}{9}+\frac{b^2+c^2}{36}=\frac{b^2+c^2}{4}$$	\implies$  $\frac{4\left(4c^2+b^2\right)}{36}+\frac{b^2+c^2}{36}=\frac{9\left(b^2+c^2\right)}{36}$$	\implies$ $16c^2+4b^2+b^2+c^2=9b^2+9c^2$$	\implies$ $17c^2+5b^2=9b^2+9c^2$$	\implies$ $8c^2=4b^2$$	\implies$ $2c^2=b^2$$	\implies$ $b=\sqrt{2c^2}$$	\implies$ $b=\sqrt{2}c$ Vậy để AD vuông góc với BE thì : $b=\sqrt{2}c$

Dương · Answer

A B C c b D E GCâu trả lời: A B C c b D E G

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP