HD
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PQ
1
17 tháng 7 2019
Tìm GTNN của P=a^7+b^7+c^7 biết a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3>=1 - Sasu ka
28 tháng 9 2019
Ta có:
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le a^2+b^2+c^2=2\left(a+b+c\right)\)
=> \(\left(a+b+c\right)^2-6\left(a+b+c\right)\le0\)
=> \(0\le a+b+c\le6.\)
\(T=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+1}=1-\frac{1}{a+1}+1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}\)
\(=3-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\le3-\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c+3}\le3-\frac{3^2}{6+3}=2\)
"=" xảy ra <=> \(a=b=c\)và \(a+b+c=6\)<=> \(a=b=c=2\)
Vậy max T = 2 khi và chỉ khi a=b=c =2
4 tháng 6 2016
Ta có:
\(\frac{a}{b^2+1}=\frac{a\left(b^2+1\right)-ab^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\)
Nhận xét: a,b,c không âm nên theo BĐT Cô - si, ta có:
\(b^2+1\ge2\sqrt{b^2.1}=2b\)
=> \(\frac{ab^2}{b^2+1}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)
=> \(a-\frac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\)
=> \(\frac{a}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự, ta cũng có:
\(\frac{b}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2}\)
\(\frac{c}{a^2+1}\ge c-\frac{ac}{2}\)
Vậy ta suy ra
\(M=\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge a+b+c-\frac{ab}{2}-\frac{bc}{2}-\frac{ac}{2}\)
Mà a+b+c = 3 nên suy ra:
\(M\ge3-\left(\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ac}{2}\right)\)(1)
Ta có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
<=> \(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)
<=> \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
<=> \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\ge3ab+3ac+3bc\)
<=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
<=> \(3^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
<=> \(ab+ac+bc\le3\)
<=> \(\frac{ab+ac+bc}{2}\le\frac{3}{2}\)
<=> \(3-\frac{ab+ac+bc}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) (2)
Từ 1 và 2 => \(M\ge\frac{3}{2}\)
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 2 2021
Sửa đề: \(P=ab^2+bc^2+ca^2+abc\le\dfrac{4}{27}\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=mid\left\{a;b;c\right\}\)
\(\Rightarrow\left(b-a\right)\left(a-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+ac\ge a^2+bc\)
\(\Leftrightarrow ca^2+bc^2\le abc+ac^2\)
Do đó:
\(ab^2+abc+ca^2+bc^2\le ab^2+abc+abc+ac^2=a\left(b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}.2a\left(b+c\right)\left(b+c\right)\le\dfrac{1}{54}\left(2a+2b+2c\right)^3=\dfrac{4}{27}\)
2 tháng 10 2021
Tham khảo:
Với các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q=\s... - Hoc24
5 tháng 3 2020
1
\(a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le a\cdot\frac{b+1+b^2-b+1}{2}=\frac{ab^2}{2}+1\)
Tương tự ta có:\(P\le3+\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)
Giả sử b nằm giữa a và c
Ta có:
\(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Leftrightarrow b^2-bc-ab+ac\le0\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\)
\(\Leftrightarrow ab^2+a^2c\le a^2b+abc\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+bc^2+abc\)
\(\le a^2b+bc^2+2abc=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta chứng minh \(b\left(3-b\right)^2\le4\) dể chứng minh
Khi đó:\(P\le3+\frac{4}{2}=5\)
Dấu "=" xảy ra tại a=0;b=1;c=2 và các hoán vị
2
Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z\)
\(\Rightarrow a=\frac{x+y}{2};b=\frac{y+z}{2};c=\frac{z+x}{2}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:\(xyz\le\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{8}\) ( đúng theo bđt cô si )
P/S:a,b,c không là độ dài 3 cạnh tam giác vẫn đúng theo BĐT Schur
5 tháng 3 2020
Bài 1: em làm không đúng rồi và cô không hiểu ý tưởng làm bài của em nhưng có mấy lỗi cơ bản:
Sai dòng thứ nhất \(\frac{ab^2}{2}+a\)
Dấu bằng xảy ra cũng sai. Dòng thứ 6 em nhân cả hai vế cho a mà dấu bằng a = 0 . vô lí
Dòng thứ 5 ( b - a ) ( b - c ) <= 0 thì dấu bằng xảy ra a = b hoặc b = c chứ
Dòng thứ 8 => sau đó làm thế nào.
PG
4
T
26 tháng 12 2019
Dự đoán Max P = 81 nên ta chứng minh: \(P\le81=\left(a+b+c\right)^4\)
Ta có: \(P=a^4+b^4+c^4-3abc\le a^4+b^4+c^4+78abc\)
\(=a^4+b^4+c^4+26\left(a+b+c\right)abc\)
Vậy ta chứng minh: \(a^4+b^4+c^4+26abc\left(a+b+c\right)\le\left(a+b+c\right)^4\)
SOS là ra rồi :DD
Đẳng thức xảy ra khi
ĐÉO BIẾT.:)Giang béo!:)
a,b,c \(\ge\)0 và a + b + c =3 \(\Rightarrow a,b,c< 4\)
giả sử b là số nằm giữa a,c thì ( b - a ) ( b - c ) \(\le\)0
\(\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\Rightarrow ab^2+a^2c\le abc+a^2b\)
\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le abc+a^2b+bc^2\le a^2b+bc^2+2abc=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Cần chứng minh \(b\left(3-b\right)^2\le4\Leftrightarrow b^3-6b^2+9b-4\le0\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2\left(b-4\right)\le0\)( luôn đúng )
Vậy GTLN của P là 4 khi ( a,b,c ) là hoán vị của bộ số ( 0 ; 1 ; 2 )