Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tìm GTNN của P=a^7+b^7+c^7 biết a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3>=1 - Sasu ka
Ta có:
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le a^2+b^2+c^2=2\left(a+b+c\right)\)
=> \(\left(a+b+c\right)^2-6\left(a+b+c\right)\le0\)
=> \(0\le a+b+c\le6.\)
\(T=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+1}=1-\frac{1}{a+1}+1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}\)
\(=3-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\le3-\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c+3}\le3-\frac{3^2}{6+3}=2\)
"=" xảy ra <=> \(a=b=c\)và \(a+b+c=6\)<=> \(a=b=c=2\)
Vậy max T = 2 khi và chỉ khi a=b=c =2
Ta có:
\(\frac{a}{b^2+1}=\frac{a\left(b^2+1\right)-ab^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\)
Nhận xét: a,b,c không âm nên theo BĐT Cô - si, ta có:
\(b^2+1\ge2\sqrt{b^2.1}=2b\)
=> \(\frac{ab^2}{b^2+1}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)
=> \(a-\frac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\)
=> \(\frac{a}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự, ta cũng có:
\(\frac{b}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2}\)
\(\frac{c}{a^2+1}\ge c-\frac{ac}{2}\)
Vậy ta suy ra
\(M=\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge a+b+c-\frac{ab}{2}-\frac{bc}{2}-\frac{ac}{2}\)
Mà a+b+c = 3 nên suy ra:
\(M\ge3-\left(\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ac}{2}\right)\)(1)
Ta có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
<=> \(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)
<=> \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
<=> \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\ge3ab+3ac+3bc\)
<=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
<=> \(3^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
<=> \(ab+ac+bc\le3\)
<=> \(\frac{ab+ac+bc}{2}\le\frac{3}{2}\)
<=> \(3-\frac{ab+ac+bc}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) (2)
Từ 1 và 2 => \(M\ge\frac{3}{2}\)
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1
Sửa đề: \(P=ab^2+bc^2+ca^2+abc\le\dfrac{4}{27}\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=mid\left\{a;b;c\right\}\)
\(\Rightarrow\left(b-a\right)\left(a-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+ac\ge a^2+bc\)
\(\Leftrightarrow ca^2+bc^2\le abc+ac^2\)
Do đó:
\(ab^2+abc+ca^2+bc^2\le ab^2+abc+abc+ac^2=a\left(b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}.2a\left(b+c\right)\left(b+c\right)\le\dfrac{1}{54}\left(2a+2b+2c\right)^3=\dfrac{4}{27}\)
Tham khảo:
Với các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q=\s... - Hoc24
1
\(a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le a\cdot\frac{b+1+b^2-b+1}{2}=\frac{ab^2}{2}+1\)
Tương tự ta có:\(P\le3+\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)
Giả sử b nằm giữa a và c
Ta có:
\(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Leftrightarrow b^2-bc-ab+ac\le0\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\)
\(\Leftrightarrow ab^2+a^2c\le a^2b+abc\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+bc^2+abc\)
\(\le a^2b+bc^2+2abc=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta chứng minh \(b\left(3-b\right)^2\le4\) dể chứng minh
Khi đó:\(P\le3+\frac{4}{2}=5\)
Dấu "=" xảy ra tại a=0;b=1;c=2 và các hoán vị
2
Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z\)
\(\Rightarrow a=\frac{x+y}{2};b=\frac{y+z}{2};c=\frac{z+x}{2}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:\(xyz\le\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{8}\) ( đúng theo bđt cô si )
P/S:a,b,c không là độ dài 3 cạnh tam giác vẫn đúng theo BĐT Schur
Bài 1: em làm không đúng rồi và cô không hiểu ý tưởng làm bài của em nhưng có mấy lỗi cơ bản:
Sai dòng thứ nhất \(\frac{ab^2}{2}+a\)
Dấu bằng xảy ra cũng sai. Dòng thứ 6 em nhân cả hai vế cho a mà dấu bằng a = 0 . vô lí
Dòng thứ 5 ( b - a ) ( b - c ) <= 0 thì dấu bằng xảy ra a = b hoặc b = c chứ
Dòng thứ 8 => sau đó làm thế nào.
Dự đoán Max P = 81 nên ta chứng minh: \(P\le81=\left(a+b+c\right)^4\)
Ta có: \(P=a^4+b^4+c^4-3abc\le a^4+b^4+c^4+78abc\)
\(=a^4+b^4+c^4+26\left(a+b+c\right)abc\)
Vậy ta chứng minh: \(a^4+b^4+c^4+26abc\left(a+b+c\right)\le\left(a+b+c\right)^4\)
SOS là ra rồi :DD
ĐÉO BIẾT.:)Giang béo!:)
a,b,c \(\ge\)0 và a + b + c =3 \(\Rightarrow a,b,c< 4\)
giả sử b là số nằm giữa a,c thì ( b - a ) ( b - c ) \(\le\)0
\(\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\Rightarrow ab^2+a^2c\le abc+a^2b\)
\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le abc+a^2b+bc^2\le a^2b+bc^2+2abc=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Cần chứng minh \(b\left(3-b\right)^2\le4\Leftrightarrow b^3-6b^2+9b-4\le0\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2\left(b-4\right)\le0\)( luôn đúng )
Vậy GTLN của P là 4 khi ( a,b,c ) là hoán vị của bộ số ( 0 ; 1 ; 2 )