K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
T
20 tháng 3 2020
Sửa đề: \(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\ge\sqrt{2}\left(\Sigma\sqrt{\frac{1-a}{a}}\right)\)
or \(\Sigma\frac{b+c}{a}\ge\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}\)
Theo AM-GM:\(\frac{b+c}{a}\ge2\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}-2\)
Tương tự và cộng lại: \(VT\ge2\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}-6\)
Mà: \(\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}\ge3\sqrt[6]{\frac{8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}\ge6\)
Từ đó: \(VT\ge2\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}-\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}=VP\)
Done!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 10 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Nguyễn Thu Trà - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Ta có:
\(\frac{2}{\sqrt{a}}+\frac{2}{\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{c}}=\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\left(1+1\right)^2}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\left(1+1\right)^2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\)
\(=\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{4}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{4}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\)
=> \(2\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)\(\ge4\left(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\right)\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)\(\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\right)\)
"=" xảy ra <=> a =b =c.