Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Ta có tứ giác MHNA là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{AHN}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
mà \(\widehat{AHN}=\widehat{ACH}\) ( cùng phụ với \(\widehat{HAN}\) )
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\)
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\left(cmt\right)\\\widehat{MAN}chung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow AM.AB=AN.AC\left(đpcm\right)\)
b) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H, \(MH\perp AB\) có:
\(MH^2=MA.MB\left(1\right)\)
cmtt: \(NH^2=NA.NC\left(2\right)\)
Ta lại có: \(HB.HC=AH^2=MN^2\)( 2 đường chéo bằng nhau) (3)
Xét \(\Delta MHN\) vuông tại H có
\(\Rightarrow MH^2+HN^2=MN^2=AH^2\left(4\right)\)
Từ (1),(2),(3) và (4) \(\Rightarrow HB.HC=MA.MB+NA.NC\left(đpcm\right)\)
c) Có \(HB=\frac{AC^2}{BC}\)
\(HC=\frac{AC^2}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{BH}{HC}=\frac{AB^2}{BC}:\frac{AC^2}{BC}=\frac{AB^2}{AC^2}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a/ Có tứ giác MHNA là hcn\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{AHN}\) (góc nt cùng chắn \(\stackrel\frown{AN}\))
Mà \(\widehat{AHN}=\widehat{ACH}\) (cùng phụ vs \(\widehat{HAN}\))
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\)
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có:
\(\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\left(CMT\right)\)
\(\widehat{MAN}\) : góc chung
\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(gg\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Leftrightarrow AM.AB=AN.AC\)
b/ Có \(HB=\frac{AB^2}{BC}\)
\(HC=\frac{AC^2}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{HB}{HC}=\frac{\frac{AB^2}{BC}}{\frac{AC^2}{BC}}=\frac{AB^2}{AC^2}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)
c/ Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H,\(MH\perp AB\)
\(\Rightarrow MA.MB=MH^2\)(1)
tương tự\(\Rightarrow NA.NC=HN^2\) (2)
\(HB.HC=AH^2=MN^2\) (2 đường chéo bằng nhau)(3)
Xét \(\Delta MHN\) vuông tại H
\(\Rightarrow MH^2+HN^2=MN^2=AH^2\)(4)
Từ (1),(2),(3),(4)\(\Rightarrow HB.HC=MA.MB+NA.NC\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHB\), ta có:
\(AH^2=AM\cdot AB\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHC\), ta có:
\(AH^2=AN\cdot AC\left(2\right)\)
Từ(1) và (2) ta được: \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
b) Ta có: MHNA là hình chữ nhật(pn tự cm nha cái này dễ)
\(\Rightarrow MH=AN\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHC\), ta có:
\(HN^2=AN\cdot NC\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHB\), ta có:
\(HM^2=AM\cdot MB\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHN\), ta có:
\(AN^2+HN^2=AH^2\)
Mà \(MH=AN\)
\(\Rightarrow MH^2+HN^2=AH^2\)
\(\Rightarrow BM\cdot MA+AN\cdot NC=BH\cdot HC\)
c) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:
\(AC^2=HC\cdot BC\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:
\(AB^2=HB\cdot BC\left(2\right)\)
Lấy (2) chia (1) ta được: \(\dfrac{HB}{HC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)
d) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:
\(AC^2=HC\cdot BC\Rightarrow AC^4=HC^2\cdot BC^2\)
\(\Rightarrow AC^4=NC\cdot AC\cdot BC^2\Rightarrow AC^3=NC\cdot BC^2\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:
\(AB^2=HB\cdot BC\Rightarrow AB^4=HB^2\cdot BC^2\)
\(\Rightarrow AB^4=BM\cdot AB\cdot BC^2\Rightarrow AB^3=BM\cdot BC^2\left(2\right)\)
Lấy (2) chia (1) ta được: \(\dfrac{BM}{CN}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
b: Xét ΔAHC vuông tại H có
\(AC^2=AH^2+HC^2\)
hay \(AH^2=AC^2-HC^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AC^2-HC^2=AN\cdot AC\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
a)
\(HM\perp AB; HN\perp AC\Rightarrow \widehat{HMA}=\widehat{HNA}=90^0\)
Xét tứ giác $AMHN$ có tổng 2 góc đối \(\widehat{HMA}+\widehat{HNA}=90^0+90^0=180^0\) nên $AMHN$ là tứ giác nội tiếp (đpcm)
b)
Vì $AMHN$ nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{AHN}\)
Mà \(\widehat{AHN}=\widehat{ACB}(=90^0-\widehat{NHC})\)
\(\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{ACB}\)
Xét tam giác $AMN$ và $ACB$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{A}-\text{chung}\\ \widehat{AMN}=\widehat{ACB}(cmt)\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AMN\sim \triangle ACB(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow AM.AB=AC.AN\) (đpcm)
c)
Ta có: \(\widehat{ACB}=\widehat{AEB}\) (góc nội tiếp chắn cung $AB$)
\(\widehat{ACB}=\widehat{AMN}\) (cmt)
\(\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{AMN}\)
\(\Leftrightarrow \widehat{IEB}=180^0-\widehat{BMI}\)
\(\Leftrightarrow \widehat{IEB}+\widehat{BMI}=180^0\), do đó tứ giác $BMIE$ nội tiếp
\(\Rightarrow \widehat{MIE}=180^0-\widehat{MBE}=180^0-90^0=90^0\) (\(\widehat{MBE}=\widehat{ABE}=90^0\) vì là góc nt chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow MN\perp AE\) . Ta có đpcm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Tam giác AHB vuông tại H có HM là trung tuyến
=> HM = 1/2 AB => AB = 30 cm
Tam giác AHC vuông tại H có HN là trung tuyến
=> HN = 1/2 AC => AC = 40 cm
Áp dụng Pytago ta có: AB2 + AC2 = BC2
=> BC2 = 302 + 402 = 2500
=> BC = 50
Áp dụng hệ thức lượng ta có:
AB2 = BH.BC => \(BH=\frac{AB^2}{BC}=18\)
AC2 = CH.BC => \(CH=\frac{AC^2}{BC}=32\)
HA.BC = AB.AC => \(HA=\frac{AB.AC}{BC}=24\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a:
ΔABC vuông tại A
=>BC^2=AB^2+AC^2
=>\(BC^2=25+64=89\)
=>\(BC=\sqrt{89}\)
Xét ΔABC vuông tại A có \(tanB=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{5}\)
=>\(\widehat{B}\simeq58^0\)
=>\(\widehat{C}=32^0\)
b: Xét tứ giác AMHN có
góc AMH=góc ANH=góc MAN=90 độ
=>AMHN là hình chữ nhật
ΔAHB vuông tại H có HM vuông góc AB
nên AM*AB=AH^2; BM*BA=BH^2; AM*MB=HM^2
ΔAHC vuông tại H có HN làđường cao
nên AN*AC=AH^2;CN*CA=CH^2; NA*NC=NH^2
AM*MB+NA*NC
=HM^2+HN^2
=MN^2
c: AB^2/AC^2
\(=\dfrac{BH\cdot CB}{CH\cdot CB}=\dfrac{BH}{CH}\)