K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

4 tháng 2 2019

Ta sẽ dùng phản chứng 

Gọi 4 cạnh của tứ giác là a , b , c , d ( a,b,c,d \(\inℕ^∗\))

Giả sử không có bất kì 2 cạnh nào bằng nhau

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{b+c+d}{a}\\y=\frac{c+d+a}{b}\\z=\frac{d+a+b}{c}\end{cases}}\left(x;y;z\inℕ^∗\right)\)(Do tổng 3 cạnh bất kì chia hết cho cạnh còn lại)

Theo bất đẳng thức trong tứ giác  thì dễ thấy \(x;y;z>1\)

Mà x,y,z là số tự nhiên nên \(x;y;z\ge2\)

Không mất tính tổng quát của bài toán ta giả sử a > b > c > d thì khi đó x < y < z

Ta có : \(\hept{\begin{cases}x\ge2\\y>x\end{cases}}\Rightarrow y\ge3\)

tương tự : \(z\ge4\)

Từ điều giả sử\(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}b+c+d\ge2a\\c+d+a\ge3b\\d+a+b\ge4c\end{cases}}\)

Cộng 3 vế vào ta được \(2a+2b+2c+3d\ge2a+3b+4c\)

                               \(\Rightarrow3d\ge b+2c\)(Vô lí do b > c > d)

Nên điều giả sử là sai 

Vậy luôn tồn tại ít nhất 2 cạnh bằng nhau trong tứ giác đó

Chú thích: tđ = trung điểm

tg = tam giác

tt = trung tuyến

Hướng dẫn làm:

Gọi tứ giác ABCD bất kì.

Gọi E là trung điểm AB, F là trung điểm BC, G là trung điểm CD, H là trung điểm DA

Xét tam giác ABC, ta có E tđ AB, F là tđ BC

=> EF là đường trung tuyến tg ABC

=> EF song song AC (1)

Xét tam giác ADC, ta có H tđ AD, G là tđ CD

=> HG là đường trung tuyến tg ADC

=> HG song song AC (2)

(1)(2) => EF song song HG

Xét tam giác ABD, ta có E tđ AB, H là tđ AD

=> EH là đường trung tuyến tg ABD

=> EH song song BD (3)

Xét tam giác DBC, ta có G tđ CD, F là tđ BC

=> GF là đường trung tuyến tg DBC

=>GF song song BD (4)

(3)(4) => EH song song GF

Xét tứ giác EFGH ta có

EF song song HG

EH song song GF

=> tứ giác EFGH là hình bình hành (đpcm)