K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

2 tháng 11 2018

\(VT=\frac{b+c-a}{2}.\frac{a+c-b}{2}.\frac{a+b-c}{2}=\sqrt{\frac{\left(b+c-a\right)^2\left(a+c-b\right)^2\left(a+b-c\right)^2}{64}}\)

\(VT=\frac{\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}.\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}.\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}}{8}\)

Ta có : 

\(\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\le\frac{b+c-a+a+c-b}{2}=\frac{2c}{2}=c\)

\(\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}\le\frac{a+c-b+a+b-c}{2}=\frac{2a}{2}=a\)

\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=\frac{2b}{2}=b\)

\(\Rightarrow\)\(VT\le\frac{abc}{8}\) ( đpcm ) 

Chúc bạn học tốt ~ 

19 tháng 3 2019

toán 8,9 khó chả ai trả lời cả khổ lắm!!!!!!

19 tháng 3 2019

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác nên

\(\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}}\)

Ta có : \(\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)=\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)\)

         \(=\frac{b+c-a}{2}.\frac{a+c-b}{2}.\frac{a+b-c}{2}=\frac{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}{8}\)

         \(=\frac{\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}.\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}.\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)}}{8}\)

          \(\le\frac{\frac{a+b-c+b+c-a}{2}.\frac{b+c-a+c+a-b}{2}.\frac{a+b-c+c+a-b}{2}}{8}\)

           \(=\frac{\frac{2b}{2}.\frac{2c}{2}.\frac{2a}{2}}{8}=\frac{abc}{8}\)

Dấu "=" <=> tam giác đó đều

19 tháng 5 2017

1/ Với mấy bài dạng này, u cứ tách theo kiểu coi x (hoặc y) là biến, cái còn lại là tham số.

\(A=2x^2+9y^2-6xy-6x-12y+2037\)

\(2A=4x^2-12x\left(y+1\right)+18y^2-24y+4074\)

\(2A=\left(2x\right)^2-2.2x.3\left(y+1\right)+9\left(y+1\right)^2+9y^2-42y+4065\)

\(2A=\left[2x-3\left(y+1\right)\right]^2+\left(3y-7\right)^2+4016\ge4016\)       nên    \(A\ge2008\)

Đẳng thức xảy ra   \(\Leftrightarrow\)   \(\hept{\begin{cases}2x-3\left(y+1\right)=0\\3y-7=0\end{cases}}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\hept{\begin{cases}x=5\\y=\frac{7}{3}\end{cases}}\)

4 tháng 8 2020

2) Ta có: Áp dụng bất đẳng thức:

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\) ta được:

\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le\frac{\left(a+b-c+b+c-a\right)^2}{4}=\frac{4b^2}{4}=b^2\)

Tương tự chứng minh được:

\(\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\le c^2\)

\(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\le a^2\)

Nhân vế 3 bất đẳng thức trên với nhau ta được:

\(\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

21 tháng 2 2019

:https://youtu.be/cs8x53kQFN4

21 tháng 2 2019

Đặt \(\hept{\begin{cases}a+b-c=x\\a+c-b=y\\b+c-a=z\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{x+y}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{y+z}{2}\end{cases}}\)

\(M=\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}{3abc}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{xyz}{\frac{3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{2.2.2}}=\frac{8xyz}{3.\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(M\le\frac{8xyz}{3.2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}=\frac{8xyz}{3.8xyz}=\frac{1}{3}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c=a+c-b\\a+c-b=b+c-a\\a+b-c=b+c-a\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=c\\a=b\\c=a\end{cases}}}\)

Vậy \(M_{max}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow a=b=c\)