HL
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
MM
1
24 tháng 11 2021
Ta có x2+y2 / x-y = x2-2xy+y2+2xy / x-y
= (x-y)2+2xy / x-y
Mà xy = 1 => 2xy = 2. Thay vào, ta có
(x-y)2+2xy / x-y = (x-y)2+2 / x-y = (x-y)2 / x-y + 2 / x-y
= x-y + 2 / x-y
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có
x-y + 2 / x-y ≥ 2.√(x-y).2 / x-y] = 2.√2 = (√2)3
Vậy Min A = (√2)3
Y
6 tháng 5 2019
+ \(P=\frac{x}{y^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{y}{z^2+1}+\frac{1}{z^2+1}+\frac{z}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}\)
+ \(\frac{1}{x^2+1}=\frac{x^2+1-x^2}{x^2+1}=1-\frac{x^2}{x^2+1}\)
+ \(x^2+1\ge2x\forall x\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^2+1}\le\frac{x^2}{2x}=\frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow-\frac{x^2}{x^2+1}\ge-\frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+1}\ge1-\frac{x}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = 1
+ Tương tự ta cm đc :
\(\frac{1}{y^2+1}\ge1-\frac{y}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> y = 1
\(\frac{1}{z^2+1}\ge1-\frac{z}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> z = 1
Do đó : \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\ge3-\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) (1)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1.
+ \(\frac{x}{y^2+1}=\frac{x\left(y^2+1\right)-xy^2}{y^2+1}=x-\frac{xy^2}{y^2+1}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y^2+1}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{xy}{2}\) ( do \(y^2+1\ge2y\forall y\) )
Dấu "=" xảy ra <=> y = 1.
Tương tự : \(\frac{y}{z^2+1}\ge y-\frac{yz}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> z = 1.
\(\frac{z}{x^2+1}\ge z-\frac{zx}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> x = 1.
Do đó : \(\frac{x}{y^2+1}+\frac{y}{z^2+1}+\frac{z}{x^2+1}\ge\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y^2+1}+\frac{y}{z^2+1}+\frac{z}{x^2+1}\ge3-\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{2}\)
( do \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) )
\(\Rightarrow\frac{x}{y^2+1}+\frac{y}{z^2+1}+\frac{z}{x^2+1}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) (2)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1.
Từ (1) và (2) suy ra
\(P\ge\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\)
P = 3 \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy Min P = 3 \(\Leftrightarrow x=y=z=1\).
24 tháng 5 2021
`P=1/(x^2+y^2)+1/(xy)+4xy`
`=1/(x^2+y^2)+1/(2xy)+4xy+1/(4xy)+1/(4xy)`
Áp dụng bunhia dạng phân thức
`=>1/(x^2+y^2)+1/(2xy)>=4/(x+y)^2`
Mà `(x+y)^2<=1`
`=>1/(x^2+y^2)+1/(2xy)>=4`
Áp dụng cosi:
`4xy+1/(4xy)>=2`
`4xy<=(x+y)^2<=1`
`=>1/(4xy)>=1`
`=>P>=4+2+1=7`
Dấu "=" `<=>x=y=1/2`
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 11 2019
\(A=\frac{x^2+\left(a+b\right)x+ab}{x}=x+\frac{ab}{x}+a+b\)
\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{\frac{ab.x}{x}}+a+b=2\sqrt{ab}+a+b\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\sqrt{ab}\)
b/ \(x^2+x=y^2\)
- Với \(x=0\Rightarrow y=0\)
- Với \(x\ge1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x>x^2\\x^2+x< x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2< y^2< \left(x+1\right)^2\Rightarrow\) không tồn tại y nguyên thỏa mãn
- Với \(x\le-1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x=\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\ge\left(x+1\right)^2\\x^2+x< x^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2\le y^2< x^2\Rightarrow y^2=\left(x+1\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+x=\left(x+1\right)^2\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1\Rightarrow y=0\)
HH
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 3 2021
\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
\(Q=\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(Q\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}+2\left(ab+bc+ca\right)=a+b+c+2\)
\(Q\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}+2=2+\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)
DT
1
