K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

8 tháng 9 2015

\(\frac{1}{n\sqrt{n+4}+\left(n+4\right)\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+4\right)}.\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+4}\right)}=\frac{\sqrt{n+4}-\sqrt{n}}{4.\sqrt{n\left(n+4\right)}}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+4}}\right)\)

Áp dụng công thức trên ta có: 

\(A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{9}}+...+\frac{1}{\sqrt{2009}}-\frac{1}{\sqrt{2015}}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2015}}\right)=\frac{\sqrt{2015}-1}{4\sqrt{2015}}\)

10 tháng 10 2017

Ta có:

\(\frac{1}{n\sqrt{n+4}+\left(n+4\right)\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+4\right)}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+4}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{n+4}-\sqrt{n}}{4\sqrt{n\left(n+4\right)}}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+4}}\right)\)

Áp dụng vào bài toán ta được

\(\frac{1}{1\sqrt{5}+5\sqrt{1}}+\frac{1}{5\sqrt{9}+9\sqrt{5}}+...+\frac{1}{2009\sqrt{2013}+2013\sqrt{2009}}\)

\(=\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{9}}+...+\frac{1}{\sqrt{2009}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)\)

\(=\frac{1}{4}.\left(1-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)\)

4 tháng 8 2016

\(\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+...+\frac{1}{\sqrt{2009}+\sqrt{2013}}\)

=\(\frac{-1+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}-3+\sqrt{13}+...+\sqrt{2013}-\sqrt{2009}}{4}\) 

=\(\frac{-1-\sqrt{2009}}{4}\)

=\(-\frac{1+7\sqrt{41}}{4}\)

28 tháng 8 2017

nx \(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+4}}\) =\(\frac{\sqrt{n+4}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+4}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+4}-\sqrt{n}\right)}=\frac{\sqrt{n+4}-\sqrt{n}}{n+4-n}=\frac{1}{4}.\left(\sqrt{n+4}-\sqrt{n}\right)\)

ap dung ta co \(=\frac{1}{4}\left(-1+\sqrt{5}-\sqrt{5}+\sqrt{9}+...-\sqrt{2009}+\sqrt{2013}\right)\) 

=\(\frac{1}{4}\left(\sqrt{2013}-1\right)\)

NV
28 tháng 6 2019

\(A=\frac{\sqrt{5}-1}{4}+\frac{\sqrt{9}-\sqrt{5}}{4}+...+\frac{\sqrt{2017}-\sqrt{2013}}{4}\)

\(A=\frac{\sqrt{2017}-1}{4}\)

29 tháng 6 2019

Bạn làm rõ hơn đựơc không?

2 tháng 4 2017

Ôi, trang wed không tự nhận diện được công thức latex. Mình đăng lại bài giải:

a) Ta có

\(4T=\frac{4}{1+\sqrt{5}}+\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+...+\frac{4}{\sqrt{2013}+\sqrt{2017}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}{\sqrt{5}+1}+...+\frac{\left(\sqrt{2017}+\sqrt{2013}\right)\left(\sqrt{2017}-\sqrt{2013}\right)}{\sqrt{2017}+\sqrt{2013}}\)

\(=\sqrt{5}-1+\sqrt{9}-\sqrt{5}+\sqrt{13}-\sqrt{9}+...+\sqrt{2017}-\sqrt{2013}\)

\(=\sqrt{2017}-1\)

\(\Rightarrow T=\frac{\sqrt{2017}-1}{4}\)

b) Ta có

\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}=\frac{2-1}{\sqrt{2}\sqrt{1}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}{\sqrt{2}\sqrt{1}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}\sqrt{1}}=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Tương tự ta có

\(\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

......................

\(\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}=\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}\)

Suy ra

\(S=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)

1 tháng 4 2017

a)\[\begin{array}{l}
4T = \frac{4}{{1 + \sqrt 5 }} + \frac{4}{{\sqrt 5  + \sqrt 9 }} + ... + \frac{4}{{\sqrt {2013}  + \sqrt {2017} }}\\
 = \frac{{(\sqrt 5  + 1)(\sqrt 5  - 1)}}{{1 + \sqrt 5 }} + ... + \frac{{(\sqrt {2017}  + \sqrt {2013} )(\sqrt {2017}  - \sqrt {2013} )}}{{\sqrt {2013}  + \sqrt {2017} }}\\
 = \sqrt 5  - 1 + \sqrt 9  - \sqrt 5  + ... + \sqrt {2017}  - \sqrt {2013} \\
 = 1 + \sqrt 5  - \sqrt 5  + \sqrt 9  - \sqrt 9  + ... + \sqrt {2013}  - \sqrt {2013}  + \sqrt {2017} \\
 = 1 + \sqrt {2017} \\
 \Rightarrow T = \frac{{1 + \sqrt {2017} }}{4}
\end{array}\]

8 tháng 8 2016

Xét tử số có dạng : \(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)\left(2n+3\right)}=\frac{1}{4}\left[\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}-\frac{1}{\left(2n+2\right)\left(2n+3\right)}\right]\) với \(n\in N\)

Ta có : \(\frac{1}{1.3.5}+\frac{1}{3.5.7}+\frac{1}{5.7.9}+...+\frac{1}{2005.2007.2009}\)

\(=\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{1.3}-\frac{1}{3.5}\right)+\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{3.5}-\frac{1}{5.7}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{5.7}-\frac{1}{7.9}\right)+...+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2005.2007}-\frac{1}{2007.2009}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1.3}-\frac{1}{3.5}+\frac{1}{3.5}-\frac{1}{5.7}+\frac{1}{5.7}-\frac{1}{7.9}+...+\frac{1}{2005.2007}-\frac{1}{2007.2009}\right)\)

\(=\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2007.2009}\right)\)

Xét mẫu số có dạng : \(\frac{1}{\left(2n+1\right)\sqrt{2n+3}+\left(2n+3\right)\sqrt{2n+1}}=\frac{1}{\sqrt{2n+1}.\sqrt{2n+3}\left(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n+1}.\sqrt{2n+3}\left[\left(2n+3\right)-\left(2n+1\right)\right]}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{\sqrt{2n+1}}-\frac{1}{\sqrt{2n+3}}\right)\)với  \(n\in N\)

Áp dụng : \(\frac{1}{1\sqrt{3}+3\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{5}+5\sqrt{3}}+\frac{1}{5\sqrt{7}+7\sqrt{5}}+...+\frac{1}{2007\sqrt{2009}+2009\sqrt{2007}}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{2007}}-\frac{1}{\sqrt{2009}}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2009}}\right)\)

Suy ra : \(M=\frac{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2007.2009}\right)}{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2009}}\right)}\)

Tới đây bài toán đã gọn hơn , bạn tự tính nhé :)

12 tháng 8 2017

!@#$%^&*()_+\ [];'{}

đầu hàng tại chỗ !

hiiiii

13 tháng 8 2017

NX \(\frac{1-\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{1+\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)  =\(\frac{\left(1-\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}-1\right)}{\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}+1\right)^2}\)

                                           =\(\frac{\left(\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2-1^2\right)}{n+1-n-1-2\sqrt{n}}\) \(=\frac{n+1+n-2\sqrt{\left(n+1\right)n}-1}{-2\sqrt{n}}=\frac{2n-2\sqrt{n\left(n+1\right)}}{-2\sqrt{n}}\) 

=\(\frac{n-\sqrt{n\left(n+1\right)}}{-\sqrt{n}}=\frac{n}{-\sqrt{n}}+\frac{\sqrt{n\left(n+1\right)}}{\sqrt{n}}=-\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\)

thay vao Q ta co

Q= \(-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-...-\sqrt{2012}+\sqrt{2013}=-\sqrt{2}+\sqrt{2013}\)

17 tháng 7 2016

\(=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{3-1}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}+...+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2009}}{2011-2009}=\frac{\sqrt{2011}-1}{2}\)