ML
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
ML
0
HK
0
HK
0
HK
0
28 tháng 5 2016
Đề bài đúng phải là : Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=0 . CMR : \(2\left(a^5+b^5+c^5\right)=5abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
a) Từ \(a+b+c=0\Rightarrow b+c=-a\Rightarrow\left(b+c\right)^5=-a^5\)
\(\Rightarrow b^5+5b^4c+10b^3c^2+10b^2c^3+5bc^4+c^5=-a^5\)
\(\Rightarrow\left(a^5+b^5+c^5\right)+5bc\left(b^3+2b^2c+2bc^2+c^3\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a^5+b^5+c^5\right)+5bc\left[\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)+2bc\left(b+c\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(a^5+b^5+c^5\right)+5bc\left(b+c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)=0\)
\(\Rightarrow2\left(a^5+b^5+c^5\right)-5abc\left[\left(b^2+2bc+c^2\right)+b^2+c^2\right]=0\)
\(\Rightarrow2\left(a^5+b^5+c^5\right)=5abc\left[\left(b+c\right)^2+b^2+c^2\right]\)
Vậy : \(2\left(a^5+b^5+c^5\right)=5abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
NA
1
CC
0
NA
1
14 tháng 10 2018
\(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^5=-c^5\)
\(\Rightarrow a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5=-c^5\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5+5ab\left[a^3+2a^2b+2ab^2+b^3\right]=0\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5+5ab\left[\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+2ab\left(a+b\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5+5ab\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=0\)
\(\Rightarrow2\left(a^5+b^5+c^5\right)+5ab\left(-c\right)\left[2a^2+2ab+2b^2\right]=0\)
\(\Rightarrow2\left(a^5+b^5+c^5\right)-5abc\left[\left(a^2+2ab+b^2\right)+a^2+b^2\right]=0\)
\(\Rightarrow2\left(a^5+b^5+c^5\right)-5abc\left[a^2+b^2+c^2\right]=0\)
\(\Rightarrow2\left(a^5+b^5+c^5\right)=5abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Chúc bạn học tốt.
NN
6 tháng 5 2022
Ta có
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)=a^5+a^2b^3+a^2c^3+a^3b^2+b^5+b^2c^3+a^3c^2+b^3c^2+c^5\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)-a^2b^2\left(a+b\right)-b^2c^2\left(b+c\right)-a^2c^2\left(a+c\right)\)
Do a+b+c=0
=> a+b=-c; b+c=-a; a+c=-b
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+a^2b^2c+ab^2c^2+a^2bc^2=\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+abc\left(ab+bc+ac\right)=\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left[\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3\right]+abc\left(ab+bc+ac\right)=\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right).\left[\left(-c^3\right)-3ab.\left(-c\right)+c^3\right]+abc\left(ab+bc+ac\right)=\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right).3abc+abc\left(ab+bc+ab\right)=\)
\(=abc.\left[3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\right]=\)
\(=abc\left[\dfrac{5}{2}.\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{2}\right]=\)
\(=abc.\left[\dfrac{5}{2}.\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2}\right]=\)
\(=abc.\dfrac{5}{2}.\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}=abc.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\left(đpcm\right)\)
a+b+c=0⇔a3+b3+c3=3abca+b+c=0⇔a3+b3+c3=3abc (cái này tự chứng minh nhá, dễ)
⇒3abc(a2+b2+c2)=(a3+b3+c3)(a2+b2+c2)=a5+b5+c5+a3(b2+c2)+b3(c2+a2)+c3(a2+b2)⇒3abc(a2+b2+c2)=(a3+b3+c3)(a2+b2+c2)=a5+b5+c5+a3(b2+c2)+b3(c2+a2)+c3(a2+b2)
Lại có b+c=−a⇔b2+c2=(b+c)2−2bc=a2−2bcb+c=−a⇔b2+c2=(b+c)2−2bc=a2−2bc
Tương tự c2+a2=b2−2ac,a2+b2=c2−2abc2+a2=b2−2ac,a2+b2=c2−2ab
Nên 3abc(a2+b2+c2)=a5+b5+c5+a3(a2−2bc)+b3(b2−2ac)+c3(c2−2ab)=2(a5+b5+c5)−2abc(a2+b2+c2)