Question

[Linh Ngân Phạm Ngọc]

Cho đường tròn (O; R), từ điểm M bên ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến MA, MB. OM cắt AB tại H. Gọi K là trung điểm của AH. Đường thẳng qua K vuông góc với OK, cắt các tia MA, MB thứ tự tại C và D.

1. Chứng minh OKAC và OKDB nội tiếp

2. Chứng minh OC= OD

3. gọi I là trung điểm MA. Chứng minh ID vuông góc với MO

Giúp mình câu 3 với ạ. Cảm ơn mọi người

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

1) Xét tứ giác OKAC: ^OKC=90⁰; ^OAC=90⁰ (Do MA là tiếp tuyến của (O))

=> Tứ giác OKAC là tứ giác nội tiếp đường tròn. (Tâm là trung điểm OC) 

Xét tứ giác OKDB: ^OKD=^OBD=90⁰ => Tứ giác OKDB nội tiếp đường tròn. (Tâm là trung điểm OD)

2) Ta có: Tứ giác OKAC nội tiếp đường tròn => ^OCK=^OAK.

Lại có: \(\Delta\)AOB cân tại O => ^OAB=^OBA hay ^OAK=^OBK

=> ^OCK=^OBK. Mà tứ giác OBDK nội tiếp đường tròn => ^OBK=^ODK

Nên ^OCK=^ODK => \(\Delta\)COD cân tại O => OC=OD (đpcm).

3) Nối D với H.

Xét \(\Delta\)COD cân tại O có OK là đường cao => OK đồng thời là đường trung tuyến => CK=DK.

Xét \(\Delta\)CAK và \(\Delta\)DHK: AK=HK; ^CKA=^DKH (Đối đỉnh); CK=DK

=> \(\Delta\)CAK = \(\Delta\)DHK (c.g.c) => ^ACK = ^HDK (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc trên ở vị trí so le trg nên AC // HD hay AM // HD.

Xét \(\Delta\)AMB: MA=MB (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) => \(\Delta\)AMB cân tại M.

Lại có: MO hay MH là phân giác ^AMB => MH là đường trung tuyến => H là trung điểm AB.

Ta thấy: \(\Delta\)AMB có H là trung điểm AB; HD // AM ; D thuộc BM => D là trung điểm BM

Mà I là trung điểm AM => ID là đường trung bình của \(\Delta\)MAB => ID // AB 

Dễ thấy MO vuông góc AB tại H => ID vuông góc với MO (Quan hệ //, vg góc) (đpcm).