TH
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 12 2022
\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)
\(=1+x^2+y^2+x^2y^2+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)
\(=\left(x^2+y^2+2xy\right)+\left(x^2y^2+2xy+1\right)+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)
\(=\left(x+y\right)^2+\left(1+xy\right)^2+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)
\(=\left(x+y+1+xy\right)^2\) là SCP
NT
Nguyễn thành Đạt
CTVHS
24 tháng 12 2022
(1+x2)(1+y2)+4xy+2(x+y)(1+xy)
= 1+y2+x2+x2y2+2xy+2xy+2(x+y)(1+xy)
=(x2+2xy+y2)+(x2y2+2xy+1)+2(x+y)(1+xy)
=(x+y)2+(xy+1)2+2(x+y)(1+xy)
=(x+y+xy+1)2
TT
4 tháng 9 2020
Xét \(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\)
\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left[\left(x-y\right)+x\right]\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+x.\left(x^2+y^2+xy\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^3\ge x^3-y^3+x^3+xy^2+x^2y\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-xy^2-x^2y\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2.\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) ( Luôn đúng )
Vậy \(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
16 tháng 8 2021
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)( bđt cauchy )
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)( bđt cauchy )
\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{\left(x+y\right)^2}\ge2+\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}{\left(x+y\right)^2}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
H9
HT.Phong (9A5)
CTVHS
13 tháng 8 2023
a) Ta có:
\(x^2-x+1\)
\(=x^2-2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)
Mà: \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) và \(\dfrac{3}{4}>0\) nên
\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x\)
\(\Rightarrow x^2-x+1>0\forall x\)
BC
1
10 tháng 3 2021
Với a, b, c là các số thực ta có: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)=\dfrac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).
Chọn \(a=x^2;b=y^2;c=z^2\) ta có \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\). (1)
Chọn \(a=xy;b=yz;c=zx\) ta có \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=\left(xy\right)^2+\left(yz\right)^2+\left(zx\right)^2\ge xy.yz+yz.zx+zx.xy=xyz\left(x+y+z\right)\). (2)
Từ (1), (2) ta có đpcm.
NL
1
H9
HT.Phong (9A5)
CTVHS
12 tháng 8 2023
Ta có:
VT: \(\left(xy+1\right)\left(x^2y^2-xy+1\right)+\left(x^3-1\right)\left(1-y^3\right)\)
\(=\left(xy\right)^3+1^3+x^3-x^3y^3-1+y^3\)
\(=x^3y^3+1+x^3-x^3y^3-1+y^3\)
\(=\left(x^3y^3-x^3y^3\right)+\left(1-1\right)+\left(x^3+y^3\right)\)
\(=x^3+y^3=VP\left(dpcm\right)\)
NN
2
18 tháng 5 2022
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng với \(\forall x,y\))
-Vậy BĐT đã được c/m.
-Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
CM
21 tháng 5 2018
Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức ở vế trái
=> VT = VP (đpcm)
Ta có BĐt <=> \(2x^2+2y^2+2-2x-2y-2xy\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
=> ĐPCM)
^^