K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

22 tháng 1 2016

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(x+y\right)-xy}{x+y}+\frac{y\left(y+z\right)-yz}{y+z}+\frac{z\left(z+x\right)-xz}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z-\frac{xy}{x+y}-\frac{yz}{y+z}-\frac{xz}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
\(\frac{xy}{x+y}+\frac{yz}{y+z}+\frac{zx}{z+x}\le\frac{x+y+z}{2}\)
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\frac{xy}{x+y}\le\frac{xy}{2\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{xy}}{2}\le\frac{x+y}{4}\)
tương tự rồi cộng vế với vế suy ra đpcm


 

10 tháng 1 2018

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\ge\dfrac{2x}{z}\); \(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{2y}{x}\); \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{2z}{y}\)

Cộng ba vế bđt sau đó chia 2 ta được đpcm

16 tháng 5 2020

\(\Sigma\frac{x^3}{y^2}=\Sigma\frac{x}{y^2}\left(x-y\right)^2+\frac{\Sigma z\left(x^3-yz^2\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+\Sigma\frac{x^2}{y}\ge\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\)

27 tháng 6 2020

\(VT-VP=\Sigma\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2}{y^2}\ge0\)

NV
31 tháng 12 2021

\(\dfrac{x^3}{y+2z}+\dfrac{y^3}{z+2x}+\dfrac{z^3}{x+2y}=\dfrac{x^4}{xy+2xz}+\dfrac{y^4}{yz+2xy}+\dfrac{z^4}{xz+2yz}\)

\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{1}{3}\) 

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)