Question

[Phùng Gia Bảo]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(x^2+x=y^4+y^3+y^2+y\)

Answer 1

[ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★]

\(x^2+x=y^4+y^3+y^2+y\)                                (1)

\(\Leftrightarrow4y^4+4y^3+4y^2+4y+1=4x^2+4x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(2y^2+y\right)^2+3y^2+4y+1=\left(2x+1\right)^2\)

Ta có

\(\left(2y^2+y\right)^2< \left(2y^2+y\right)+3y^2+4y+1< \left(2y^2+y+2\right)^2\)            (2)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y^2+4y+1>0\\\left(3y^2+y\right)^2+4\left(2y^2+y\right)+4-\left(2y^2+y\right)^2-3y^2-4y-1>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(y+1\right)\left(3y+1\right)>0\\5y^2+3>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y< -1\\y>\frac{-1}{3}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow y\ne-1\)(do y là số nguyên)

lúc đó (1) xảy ra khi 

\(\left(2x+1\right)^2=\left(2y^2+y+1\right)^2\)                               (3)

tức là \(\left(2y^2+y\right)^2+3y^2+4y+1=\left(2y^2+y+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(2y^2+y\right)^2+3y^2+4y+1=\left(2y^2+y\right)^2+2\left(2y^2+y\right)+1\)

\(\Leftrightarrow3y^2+4y=4y^2+2y\)

\(\Leftrightarrow y^2-2y=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\y=2\end{cases}}\)

Thay vào (3) tìm được y

Nghiệm (y,x) là (0,0),(0,-1),(2,5),(2,-6),(-1,0),(-1,-1)