Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{2002x^4+x^4\sqrt{x^2+2002}+x^2}{2001}=2002\)
\(\frac{x^2\left(x^2+2002\right)+x^4\sqrt{x^2+2002}}{2001}=2002\)
\(x^2\sqrt{x^2+2002}\left(\sqrt{x^2+2002}+x^2\right)=2002.2001\)
đặt x^2+2002=a
a-2002=x^2
pt \(\left(a-2002\right)\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+a-2002\right)=2002.2001\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x-2001}+\sqrt{x-2002}-\sqrt{x-2003}\right)=0\)
=>x-1=0
=>x=1
Tìm max $A=\frac{\sqrt{x-2001}}{x+2}+\frac{\sqrt{x-2002}}{x}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
Đặt \(\sqrt[3]{3x^2-x+2001}=a;-\sqrt[3]{3x^2-7x+2002}=b;-\sqrt[3]{6x-2003}=c\)
Thì ta có được hệ: \(\hept{\begin{cases}a+b+c=\sqrt[3]{2002}\\a^3+b^3+c^3=2002\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=a^3+b^3+c^3\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
Với a = - b thì
\(\sqrt[3]{3x^2-x+2001}=\sqrt[3]{3x^2-7x+2002}\)
\(\Leftrightarrow3x^2-x+2001=3x^2-7x+2002\)
\(\Leftrightarrow6x=1\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}\)
Tương tự cho 2 trường hợp còn lại
Áp dụng Côsi:
\(\frac{\sqrt{2003}\sqrt{x-2001}}{\left(x+2\right)\sqrt{2003}}+\frac{\sqrt{2002}\sqrt{x-2002}}{x\sqrt{2002}}\le\frac{2003+x-2001}{2\left(x+2\right)\sqrt{2003}}+\frac{2002+x-2002}{2x\sqrt{2002}}\)
\(\frac{x+2}{2\left(x+2\right)\sqrt{2003}}+\frac{x}{2x\sqrt{2002}}=\frac{1}{2\sqrt{2003}}+\frac{1}{2\sqrt{2002}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(2003=x-2001\text{ và }2002=x-2002\Leftrightarrow x=4004\)
Vậy GTLN của biểu thức là \(\frac{1}{2\sqrt{2003}}+\frac{1}{2\sqrt{2002}}\)
\(Pt\Leftrightarrow2002x^4+x^4\sqrt{x^2+2002}+x^2-2002.2001=0\)
\(\Leftrightarrow x^4\left(\sqrt{x^2+2002}+2002\right)+x^2-2002.2001=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4}{\sqrt{x^2+2002}-2002}\left(x^2+2002-2002^2\right)+\left(x^2-2001.2002\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2001.2002\right)\left(\dfrac{x^4}{\sqrt{x^2+2002}-2002}+1\right)=0\)
Done !