Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(4sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right).cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=m^2+\sqrt[]{3}sin2x-cos2x\)
\(\Leftrightarrow4.\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left[sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}+x-\dfrac{\pi}{6}\right)+sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}-x+\dfrac{\pi}{6}\right)\right]=m^2+2.\left[\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}.sin2x-\dfrac{1}{2}.cos2x\right]\)
\(\Leftrightarrow2\left[sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)+sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\right]=m^2+2\)
\(\Leftrightarrow2.2sin2x.cos\dfrac{\pi}{6}=m^2+2\)
\(\Leftrightarrow2.2sin2x.\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}=m^2+2\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt[]{3}sin2x.=m^2+2\)
\(\Leftrightarrow sin2x.=\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\)
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
\(\left|\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\right|\le1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\ge-1\\\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2\ge-2\left(1+\sqrt[]{3}\right)\left(luôn.đúng\right)\\m^2\le2\left(1-\sqrt[]{3}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt[]{2\left(1-\sqrt[]{3}\right)}\le m\le\sqrt[]{2\left(1-\sqrt[]{3}\right)}\)
\(A=cos\left(7\pi-x\right)+3sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)-cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)-sinx\)
\(=cos\left(x+\pi\right)+3sin\left(-\dfrac{\pi}{2}+x\right)-cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)-sinx\)
\(=-cosx-3cosx-sinx-sinx=-4cosx-2sinx\)
\(\Leftrightarrow\left(1-sinx\right)\left(cos2x+3msinx+sinx-1\right)=m\left(1-sinx\right)\left(1+cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\\cos2x+3m.sinx+sinx-1=m\left(1+sinx\right)\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Bài toán thỏa mãn khi (1) có 5 nghiệm khác nhau trên khoảng đã cho thỏa mãn \(sinx\ne1\)
Xét (1):
\(\Leftrightarrow1-2sin^2x+3msinx+sinx-1=m+m.sinx\)
\(\Leftrightarrow2sin^2x-sinx-2m.sinx+m=0\)
\(\Leftrightarrow sinx\left(2sinx-1\right)-m\left(2sinx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2sinx-1\right)\left(sinx-m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\\sinx=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) có 3 nghiệm khác nhau trên \(\left(-\dfrac{\pi}{2};2\pi\right)\)
\(\Leftrightarrow-1< m< 0\)
Đặt \(\dfrac{\pi}{3}+mx=t\Rightarrow mx=t-\dfrac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\pi}{6}-mx=\dfrac{\pi}{6}-\left(t-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\pi}{2}-t\)
Pt trở thành:
\(cos^2t+4cos\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)=4\)
\(\Leftrightarrow1-sin^2t+4sint=4\)
\(\Leftrightarrow sin^2t-4sint+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sint=1\\sint=3>1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
\(\Rightarrow\dfrac{\pi}{3}+mx=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
\(\Leftrightarrow mx=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{m}\left(\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\right)\)
\(0< x< 1\Rightarrow0< \dfrac{1}{m}\left(\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\right)< 1\Rightarrow-\dfrac{1}{12}< k< \dfrac{m-\dfrac{\pi}{6}}{2\pi}\) (1)
Pt có 4 nghiệm pb trên đoạn đã cho khi có 4 giá trị k nguyên thỏa mãn (1)
\(\Rightarrow k=\left\{0;1;2;3\right\}\)
\(\Rightarrow3< \dfrac{m-\dfrac{\pi}{6}}{2\pi}\le4\)
\(\Rightarrow\dfrac{37\pi}{6}< m\le\dfrac{49\pi}{6}\)
Nghiệm trên \(\left(0;\pi\right)\) hay (0;1) nhỉ?
Thực ra 2 cái này cũng ko khác gì nhau về mặt pp giải toán nhưng mà \(\left(0;\pi\right)\) thì tính toán đẹp hơn \(\left(0;1\right)\) nhiều
Để phương trình vô nghiệm thì 5m-3>1 hoặc 5m-3<0
=>m>4/5 hoặc m<3/5
Ta có : \(\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=m+1,x\in\left(\dfrac{7\pi}{24};\dfrac{3\pi}{4}\right)\)
Thấy \(x\in\left(\dfrac{7\pi}{24};\dfrac{3\pi}{4}\right)\)
\(\Rightarrow2x+\dfrac{\pi}{6}\in\left(\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{5\pi}{3}\right)\)
\(\Rightarrow\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\in\left(-1;\dfrac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow-1< m+1< \dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow-2< m< -\dfrac{1}{2}\)
Vậy ...
Đoạn \(2x+\dfrac{\pi}{6}\in\left(\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{5\pi}{3}\right)\) thì suy ra \(\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\in\) [\(-1;\dfrac{1}{2}\)) bạn ạ.