Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(B=\frac{x^3}{y+1}+\frac{y^3}{1+x}=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x^3+y^3\right)}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)}{x+y+2}=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-1\right)}{x+y+2}\)
Áp dụng BĐT cô si với các số dương x2 ; y2 ; x4 ; y4 ta được :
\(B\ge\frac{2x^2y^2+\left(x+y\right)\left(2xy-1\right)}{x+y+2}=\frac{2+\left(x+y\right)}{x+y+2}=1\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\Leftrightarrow x=y=1\)
x+xy+y+1=9
(x+1)(y+1)=9
áp dụng bđt ab<=(a+b)^2/4
->9<=(x+y+2)^2/4 -> x+y >=4
....
a) \(6xy+4x-9y-7=0\)
\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+2\right)-9y-6-1=0\)
\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+x\right)-3.\left(3y+2\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right).\left(3y+2\right)=1\)
Mà \(x,y\in Z\Rightarrow2x-3;3y+2\in Z\)
Tự làm típ
\(A=x^3+y^3+xy\)
\(A=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)
\(A=x^2-xy+y^2+xy\)( vì \(x+y=1\))
\(A=x^2+y^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovxky ta có :
\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2=\left(x+y\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)
Hay \(x^3+y^3+xy\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Xét 2 trường hợp:
TH1 : Nếu x,y trái dấu \(\Rightarrow xy< 0\Rightarrow P=1-xy>1\)
TH2: Nếu x,y cùng dấu \(\Rightarrow\)xy\(\ge0\) \(\Rightarrow\)có 2 trường hợp xảy ra:
* Nếu xy=0\(\Rightarrow P=1-xy=1\)
* Nếu xy\(\ne0\Rightarrow\) \(xy>0\)
Áp dụng bđt Cô-si : \(2x^{1006}y^{1006}=x^{2013}+y^{2013}\ge2x^{1006}y^{1006}\sqrt{xy}\Rightarrow\sqrt{xy}\le1\Rightarrow xy\le1\)
\(\Rightarrow-xy\ge-1\) \(\Rightarrow P=1-xy\ge1-1=0\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy gtnn của P=0 \(\Leftrightarrow x=y=1\)
CM : với a,b > 0 thì \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b};\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b
Ta có : P = \(\frac{5}{x^2+y^2}+\frac{3}{xy}=\left(\frac{5}{x^2+y^2}+\frac{5}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}=5.\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}\)
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=\frac{4}{9}\)
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{1}{2xy}\ge\frac{2}{\left(x+y\right)^2}=\frac{2}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge5.\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{22}{9}\)
Dấu " = "xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = 1,5
\(x+y=1\Rightarrow x=1-y\)
\(A=x^3+y^3+xy\)
\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)
\(=x^2+y^2\) (vì x + y = 1)
\(=\left(1-y\right)^2+y^2\)
\(=2y^2-2y+1\)
\(=2\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=2\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\forall y\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(y-\frac{1}{2}=0\Rightarrow y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=1-y=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của A là \(\frac{1}{2}\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(A=x^3+y^3+xy=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)
\(=x^2-xy+y^2+xy=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
Nên min A là \(\frac{1}{2}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)