Question

[Lumina]

Tìm giá trị nhỏ nhất: A=|2x-3|-2014 B=x+|x| C=|x-2013|+|x-2014| D=|x-4|+|x-5|+|x-7|

Answer 1

[Yen Nhi]

Answer:

\(A=\left|2x-3\right|-2014\)

Mà \(\left|2x-3\right|\ge0\forall x\Rightarrow\left|2x-3\right|-2014\ge-2014\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left|2x-3\right|=0\Rightarrow2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A=-2014\) khi \(x=\frac{3}{2}\)

\(B=x+\left|x\right|\)

Trường hợp 1: \(x\ge0\Rightarrow B=x+x=2x\ge0\left(1\right)\)

Trường hợp 2: \(x\le0\Rightarrow B=x-x=0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow B\ge0\forall x\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(B=0\) khi \(x\le0\)

\(C=\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|\)

Có: \(\hept{\begin{cases}\left|x-2013\right|\ge x-2013\forall x\\\left|x-2014\right|\ge-x+2014\forall x\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|\ge x-2013-x+2014\forall x\)

\(\Rightarrow C\ge1\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi: 

\(\hept{\begin{cases}\left|x-2013\right|\ge0\\\left|x-2014\right|\le0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge2013\\x\le2014\end{cases}}\Rightarrow2013\le x\le2014\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(C=1\) khi \(2013\le x\le2014\)

\(D=\left|x-4\right|+\left|x-5\right|+\left|x-7\right|\)

Có: \(\hept{\begin{cases}\left|x-4\right|\ge0\forall x\\\left|x-7\right|\ge0-x+7\forall x\end{cases}}\Rightarrow\left|x-4\right|+\left|x-7\right|\ge3\forall x\left(1\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: 

\(\hept{\begin{cases}\left|x-4\right|\ge0\\\left|x-7\right|\le0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge4\\x\le7\end{cases}}\Rightarrow4\le x\le7\)

Có: \(\left|x-5\right|\ge0\left(2\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=5\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow D\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(D\ge3\Rightarrow\hept{\begin{cases}4\le x\le7\\x=5\end{cases}}\Rightarrow x=5\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(D=3\) khi \(x=5\)