Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bổ đề: " Một số chính phương a^2 khi chia cho 5 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 4 "
Chứng minh: Ta xét 5 trường hợp:
+ a = 5k => a^2 = 25k^2, chia 5 dư 0
+ a = 5k + 1 => a^2 = (5k + 1)^2 = 25k^2 + 10k + 1, chia 5 dư 1
+ a = 5k + 2 => a^2 = (5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4, chia 5 dư 4
+ a = 5k + 3 => a^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9, chia 5 dư 4
+ a = 5k + 4 => a^2 = 25k^2 + 40k + 16, chia 5 dư 1
Vậy bổ đề được chứng minh
Trở lại bài toán: Ta có (5^(2p)) + 1997 chia 5 dư 2
(5^(2p^2)) + q^2 chia 5 dư q^2, áp dụng bổ đề ta được q^2 chia 5 chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 4 chứ không thể dư 2 => 2 số (5^(2p))+1997 và (5^(2p^2))+q^2 khi chia cho 5 không bao giờ có cùng số dư, vậy nên chúng không thể bằng nhau
=> không tồn tại 2 số nguyên tố p và q thỏa mãn yêu cầu bài toán
p/s: theo lời giải trên ta thấy có thể mở rộng bào toán cho trường hợp p và q là "các số nguyên" chứ không cần là số nguyên tố
Bài làm :
Xét 3 trường hợp :
- Trường hợp 1: p= 3
⇒2.p+ 1= 7
2.p+ 5= 11 ( thỏa mãn)
- Trường hợp 2 : p= 3.k+ 1
⇒ 2.p+ 1= 2. ( 3.k+ 1) + 1= 6.k+ 2+ 1= 6.k+ 3= 3. (2.k+ 1) chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số
⇒ Loại
- Trường hợp 3 : p= 3.k+ 2
⇒ 2.p+ 5= 6.k+ 4+ 5= 6.k+ 9= 3. (2.k+ 3) chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số
⇒ Loại
Vậy p= 3
\(p=7\Rightarrow2p+1=15\)(là hợp số)
\(p=11\Rightarrow\hept{\begin{cases}2p+1=23\\4p+1=45\left(hopso\right)\end{cases}}\)(hopso=hợp số)
Với p>11 mà p nguyên tố \(\Rightarrow p=11k+1;11k+2;....;11k+10\)
Với \(p=11k+5\)
\(\Rightarrow p=2\left(11k+5\right)+1=22k+11⋮11\)
Mà 22k+11>11=>2p+1 là hợp số
Bạn xét tiếp với \(=11k+1;..;11k+4;11k+6;...;11k+10\)vào 4p+1 để xem nó là hợp số hay nguyên tố
Kết luân: To be continue
p.q + 1là số nguyên tố
Mà p.q + 1 > 3 => p .q + 1 lẻ => p.q chẵn
< = > p = 2 hoặc q = 2
Bạn liệt kê ra
