Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cach tuong tu
AM-GM \(2+2yz=x^2+y^2+z^2+2yz=x^2+\left(y+z\right)^2\ge2x\left(y+z\right)\)
\(\Rightarrow1+yz\ge x\left(y+z\right)\Rightarrow x^2+x+yz+1\ge x\left(x+y+z+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^2+x+yz+1}\le\frac{x}{x+y+z+1}\). Se cm \(x+y+z-xyz\le2\), that vay ap dung C-S
\(x+y+z-xyz=x\left(1-yz\right)+\left(y+z\right)\)\(\le\sqrt{\left[x^2+\left(y+z\right)^2\right]\left[\left(1-yz\right)^2+1\right]}\)
\(=\sqrt{2\left(1+yz\right)\left[\left(yz\right)^2-2yz+2\right]}=\sqrt{y^2z^2\left(yz-1\right)+4}\le2\)
\(\Rightarrow M\le\frac{x}{x+y+z+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{x+y+z+1}=1\)
Dau "=" xay ra khi x=y=1; z=0
Câu 1: (Hinh 1)
a) Gọi AO giao BC tại T. Áp dụng ĐL Thales, hệ quả ĐL Thales ta có các tỉ số:
\(\frac{AK}{AB}=\frac{CM}{BC};\frac{CF}{CA}=\frac{OM}{CA}=\frac{TO}{TA}=\frac{TE}{TB}=\frac{TM}{TC}=\frac{TE+TM}{TB+TC}=\frac{ME}{BC}\)
Suy ra \(\frac{AK}{AB}+\frac{BE}{BC}+\frac{CF}{CA}=\frac{CM+BE+ME}{BC}=1\)(đpcm).
b) Dễ có \(\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CB};\frac{FH}{BC}=\frac{BE+CM}{BC};\frac{MK}{CA}=\frac{BM}{BC}\). Từ đây suy ra:
\(\frac{DE}{AB}+\frac{FH}{BC}+\frac{MK}{CA}=\frac{CE+BM+BE+CM}{BC}=\frac{2\left(BE+ME+CM\right)}{BC}=2\)(đpcm).
Câu 2: (Hình 2)
Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E. Khi đó dễ thấy \(\Delta\)CAE cân tại A.
Áp dụng hệ quả ĐL Thales có: \(\frac{AD}{CE}=\frac{BA}{BE}\) hay \(\frac{AD}{CE}=\frac{c}{b+c}\Rightarrow AD=\frac{c.CE}{b+c}\)
Vì \(CE< AE+AC=2b\)(BĐT tam giác) nên \(AD< \frac{2bc}{b+c}\)(đpcm).
Câu 3: (Hình 3)
Gọi M và D thứ tự là trung điểm cạnh BC và chân đường phân giác ứng với đỉnh A của \(\Delta\)ABC.
Do G là trọng tâm \(\Delta\)ABC nên \(\frac{AG}{GM}=2\). Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác ta có:
\(\frac{IA}{ID}=\frac{BA}{BD}=\frac{CA}{CD}=\frac{BA+CA}{BD+CD}=\frac{AB+AC}{BC}=\frac{2BC}{BC}=2\)
Suy ra \(\frac{IA}{ID}=\frac{GA}{GM}\left(=2\right)\). Áp dụng ĐL Thales đảo vào \(\Delta\)AMD ta được IG // BC (đpcm).
Đầu tiên ta chứng minh: \(\frac{HA}{CA}.\frac{HB}{CB}+\frac{HB}{AB}.\frac{HC}{AC}+\frac{HC}{BC}.\frac{HA}{BA}=1\)
Đặt \(\frac{HA}{CB}=x;\frac{HB}{AC}=y;\frac{HC}{AB}=z\) ta có: \(xy+yz+zx=1\)
Áp dụng bất đẳng thức Bu - nhi - a cho ba số x, y, z ta có: \(\left(xy+yz+zx\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
Hay \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge1\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)
Giả sử \(\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{CA}+\frac{HC}{AB}=x+y+z\)
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx>1+2=3\)
Từ đó suy ra \(x+y+x\ge\sqrt{3}\Leftrightarrow\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{CA}+\frac{HC}{AB}\ge\sqrt{3}\).
