K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

9 tháng 9 2017

A B C O D E F

\(\frac{OA}{AD}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABD}}=\frac{S_{AOC}}{S_{ACD}}=\frac{S_{AOB}+S_{AOC}}{SABC}\)

Tương tự rồi cộng lại ta đc

\(\frac{OA}{AD}+\frac{OB}{BE}+\frac{OC}{CF}=\frac{2\left(S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COA}\right)}{S_{ABC}}=2\)

8 tháng 9 2017

Bài Giải

Đặt SBOC=x2,SAOC=y2,SAOB=z2 ⇒SABC=SBOC+SAOC+SAOB=x2+y2+z2

Ta có : ADOD =SABCSBOC =AO+ODOD =1+AOOD =x2+y2+z2x2 =1+y2+z2x2 

⇒AOOD =y2+z2x2 ⇒√AOOD =√y2+z2x2 =√y2+z2x 

Tương tự ta có √OBOE =√x2+z2y2 =√x2+z2y ;√OCOF =√x2+y2z2 =√x2+y2z 

⇒P=√x2+y2z +√y2+z2x +√x2+z2y ≥x+y√2z +y+z√2x +x+z√2y 

           =1√2 [(xy +yx )+(yz +zy )+(xz +zx )]≥1√2 (2+2+2)=3√2

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z⇒SBOC=SAOC=SAOB=13 SABC

⇒ODOA =OEOB =OFOC =13 ⇒O là trọng tâm của tam giác ABC

Vậy MinP=3√2 khi O là trọng tâm của tam giác ABC

23 tháng 1 2022

A B C E F K O

Xét Δ ABO và Δ ABK có chung đường cao hạ từ B xuống AK

=>\(\dfrac{S_{ABO}}{S_{ABK}}=\dfrac{AO}{AK}\)

Xét Δ ACO và Δ ACKcó chung đường cao hạ từ C xuống AK

=>\(\dfrac{S_{ACO}}{S_{ACK}}=\dfrac{AO}{AK}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AO}{AK}=\dfrac{S_{ABO}}{S_{ABK}}=\dfrac{S_{ACO}}{S_{ACK}}=\dfrac{S_{ABO}+S_{ACO}}{S_{ABK}+S_{ACK}}\)\(=\dfrac{S_{ABO}+S_{ACO}}{S_{ABC}}\)(1)

( vì \(S_{ABK}+S_{ACK}=S_{ABC}\)

c/m tương tự như trên t sẽ có:

\(\dfrac{BO}{BE}=\dfrac{S_{BOA}+S_{BOC}}{S_{BEA}+S_{BEC}}=\dfrac{S_{BOA}+S_{BOC}}{S_{ABC}}\left(2\right)\)

\(\dfrac{CO}{CF}=\dfrac{S_{COA}+S_{COB}}{S_{CFA}+S_{CFB}}=\dfrac{S_{COA}+S_{COB}}{S_{ABC}}\left(3\right)\)

Cộng tất cả vế (1) , (2) , (3) ta có :

\(\dfrac{OA}{AK}+\dfrac{OB}{BE}+\dfrac{OC}{CF}=\dfrac{2\left(S_{ABO}+S_{ACO}+S_{BOC}\right)}{S_{ABC}}=2\) ( đpcm)

( vì \(S_{ABO}+S_{ACO}+S_{BOC}=S_{ABC}\)

23 tháng 1 2022

cảm ơn chị

Đặt S OBC=S1, S OAC=S2, S OAB=S3, S=S ABC

Kẻ AH vuông góc BC< OK vuông góc BC

=>OK//AH

OP/AP=OK/AH=1/2*OK*BC/1/2*AH*CB=S1/S

=>\(\dfrac{AP-OP}{AP}=\dfrac{S-S_1}{S}\)

=>\(\dfrac{OA}{AP}=\dfrac{S_2+S_3}{S}\)

Cmtương tự, ta được: \(\dfrac{OB}{BQ}=\dfrac{S_1+S_3}{S};\dfrac{OC}{CR}=\dfrac{S_1+S_2}{S}\)

=>\(\dfrac{OA}{AP}+\dfrac{OB}{BQ}+\dfrac{OC}{CR}=2\)