Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi M, N lần lượt là chân đường cao hạ từ B,C xuống AC,AB
Ta có \(DH.DA=DB.DC\)(1)
Để chứng minh K là trực tâm tam giác IBC ta chứng minh \(DK.DJ=DB.DC\)hay \(DK.DJ=DH.DA\)
Ta có NC,NA lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của \(\widehat{MND}\)nên
\(\frac{HK}{HD}=\frac{NK}{ND}=\frac{AK}{AH}\)
\(\Rightarrow AK.HD=AD.HK\)
\(\Leftrightarrow HD\left(AD-DK\right)=AD\left(DK-DH\right)\)
\(\Leftrightarrow2.AD.DH=DK\left(DA+DH\right)\)
\(\Leftrightarrow2.AD.DH=2.DK.DJ\)
\(\Rightarrow AD.DH=DK.DJ\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có\(DK.DJ=DH.DA\)
=> K là trực tâm của tam giác IBC
Hình hơi rối, bạn tự vẽ hình nhé!
Lấy điểm S đối xứng với H qua BC, R là giao điểm của KC và MB.
Vì \(ME=MA=MH\)( tính chất trung tuyến )
Kết hợp tính đối xứng của điểm S ta có:
\(\widehat{MSB}=\widehat{BHD}=\widehat{MHE}=\widehat{MEB}\)
=> Tứ giác MESB nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{RBE}=\widehat{MSE}\left(1\right)\)
Lại có: \(\widehat{KSC}=\widehat{CHD}=\widehat{AHF}=\widehat{AEK}\)
Nên tứ giác KSCE cũng nội tiếp
=> \(\widehat{MSE}=\widehat{RCE}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) =>\(\widehat{RBE}=\widehat{RCE}\)
Nên tứ giác RBCE nội tiếp
=> \(\widehat{BRC}=\widehat{BEC}=90^o\)
Trong \(\Delta MBC\)có: \(MK\perp BC\)và \(CK\perp MB\)
Nên K là trực tâm của \(\Delta BMC\)
