Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\) <=>\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4 - 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge0\)
Vì \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge 2\)
và \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge 2\)
nên BĐT tương đương 2+ 4- 3x2 \(\ge 0\)
<=> 0\(\ge 0\)
Dấu = xảy ra khi x=y
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\) ta có \(lal=l\frac{x}{y}+\frac{y}{x}l=l\frac{x}{y}l+l\frac{y}{x}l\ge2\) ( cô - si )
=> \(a\ge2ora\le-2\)
BĐT <=> \(a^2-2+4\ge3a\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)
(+) với \(a\ge2\) => \(a-1>a-2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)
(+) với \(a\le-2\Rightarrow a-2\le0;a-1\le0\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)\ge0\)
Vậy BĐT trên luôn đúng
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(\sqrt{3x\left(2x+y\right)}+\sqrt{3y\left(2y+x\right)}\le\frac{3x+2x+y}{2}+\frac{3y+2y+x}{2}=\frac{6\left(x+y\right)}{2}=3\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y}{3\left(x+y\right)}=\frac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y
Đặt \(x=\frac{a+b}{a-b};y=\frac{b+c}{b-c};z=\frac{c+a}{c-a}\)
Ta có : \(x+1=\frac{2a}{a-b};y+1=\frac{2b}{b-c};z+1=\frac{2c}{c-a}\) (1)
\(x-1=\frac{2b}{a-b};y-1=\frac{2c}{b-c};z-1=\frac{2a}{c-a}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\)
<=> \(\left(xy+x+y+1\right)\left(z+1\right)=\left(xy-x-y+1\right)\left(z-1\right)\)
<=> \(xyz+xz+yz+z+xy+x+y+1=xyz-xz-yz+z-xy+x+y-1\)
<=> \(xy+yz+xz=-1\)
TA có \(\left(x+y+z\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge-2\left(xy+yz+xz\right)=2\)
Ta có \(P=\frac{\left(x+y\right)^2+3xy}{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}+\frac{3\sqrt{xy}}{x+y}=\frac{3}{4}\frac{x+y}{\sqrt{xy}}+\frac{3\sqrt{xy}}{x+y}+\frac{1}{4}.\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\ge3+\frac{1}{4}.2=\frac{7}{2}\)
Vậy MinP=7/2 khi x=y
Dat \(a=\sqrt[3]{65+x},b=\sqrt[3]{65-x}\)
Bien doi PT thanh \(a^2+4b^2=5ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-5ab+4b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-ab\right)-\left(4ab-4b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)-4b\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-4b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b\left(1\right)\\a=4b\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt[3]{65+x}=\sqrt[3]{65-x}\)
\(\Leftrightarrow65+x=65-x\)
\(\Leftrightarrow x=0\left(n\right)\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt[3]{65+x}=4\sqrt[3]{65-x}\)
\(\Leftrightarrow65+x=64.65-64x\)
\(\Leftrightarrow65x=64.65-65\)
\(\Leftrightarrow x=63\left(n\right)\)
Vay nghiem cua PT la \(x=0,x=63\)
