Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có a và b không âm nên
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}=\frac{a+b}{2}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\)(bất đẳng thức cô - si)
Cần chứng minh \(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\). Xét hiệu hai vế
\(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left[\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\)
Xảy ra đẳng thức \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4}\)hoặc\(a=b=0\)
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}=\frac{a+b}{2}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\)
Áp dụng BĐT cô si
=> \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
=> \(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}\ge\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\) (1)
CM \(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge\) \(a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)
XH : \(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}\)
= \(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=\sqrt{ab}\left(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}+b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\right)\)
= \(\sqrt{ab}\left[\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\) Với mọi a ; b > 0
Tự Cm tiếp nha
PP: Dùng tương đương thần chưởng !!!
Ý tưởng : Chứng minh 1/\sqrt{1+a^2} + 1/\sqrt{1+b^2} >= 2/\sqrt{1+ab} >= 2/\sqrt{ 1+ (a+b)^2/4 }
._. Bạn biết đăng hình ảnh lên đây không mình làm ra rùi chụp cho (:
3a) ta có \(\frac{a^2}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}>=a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
vì \(a,b>0,a+b>=2\sqrt{ab}nên\frac{ab}{a+b}< =\frac{ab}{2\sqrt{ab}}\)
tương tự \(\frac{b^2}{b+c}=b-\frac{bc}{b+c}>=b-\frac{bc}{2\sqrt{bc}}=b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\)
tương tự \(\frac{c^2}{c+a}=c-\frac{ca}{c+a}>=c-\frac{ca}{2\sqrt{ca}}=c-\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
cộng từng vế BĐT ta được \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ca}}{2}=\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}\left(1\right)\)
giả sử \(\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}>=\frac{a+b+c}{2}\)
<=> \(2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=a+b+c\)
<=> \(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>=0\)
(đúng với mọi a,b,c >0) (2)
(1),(2)=> \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)
áp dụng BĐT cô-si ta có:
\(\frac{a+b}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\)\(\ge2\sqrt{\frac{a}{2}.\frac{b}{2}}=2\frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{4}}=2\frac{\sqrt{ab}}{2}=\sqrt{ab}\)
Vậy \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=0 hoặc a=b=1
Ta có:\(VT=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
Xét:\(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2}{xy}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT \(\left(1\right)\)ta được:
\(VT\ge6\)
Ta có:\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow VP\ge4\left(\frac{9}{2}-3\right)=6\)
Trừ vế với vế ta được:
\(VT-VP\ge0\Rightarrow VT\ge VP\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(a=b=c\)
^^
Con Chim 7 Màu sai rồi nha =))
VT > 6 và VP > 6 thì VP - VT > 0 chứ ko chỉ VT - VP > 0 nhé =))
Lời giải như sau :
Bài 1, \(CMR:\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\left(a;b;c>0\right)\)
Áp dụng bđt quen thuộc \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x;y>0\right)\) được
\(\frac{4}{b+c}\le\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Rightarrow\frac{4a}{b+c}\le\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\)
Chứng mình tương tự \(\frac{4b}{c+a}\le\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\)
\(\frac{4c}{a+b}\le\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)
Cộng 3 vế của bđt lại ta được
\(4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\le\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\left(Đpcm\right)\)
Dấu "=" tại a = b = c
_______________________________________________________________________
Bài 2 , CMR \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\left(a;b;c>0\right)\)
Áp dụng bđt Cô-si có
\(a+b+c=a+\left(b+c\right)\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{a+b+c}\le\frac{1}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\)
\(\Rightarrow\frac{2a}{a+b+c}\le\sqrt{\frac{a}{b+c}}\)(Nhân cả 2 vế với a > 0)
C/m tương tự \(\frac{2b}{a+b+c}\le\sqrt{\frac{b}{a+c}}\)
\(\frac{2c}{a+b+c}\le\sqrt{\frac{c}{a+b}}\)
Cộng 3 vế của 3 bđt lại được
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dấu "=" ko xảy ra nên ta được đpcm
Bạn theo đường link này là ra
https://olm.vn/hoi-dap/question/1043868.html
P/s hok tốt