Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
\(\Leftrightarrow\dfrac{2a}{2a+b}+\dfrac{2b}{2b+c}+\dfrac{2c}{2c+a}\le2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2a}{2a+b}-1+\dfrac{2b}{2b+c}-1+\dfrac{2c}{2c+a}-1\le-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{2a+b}+\dfrac{c}{2b+c}+\dfrac{a}{2c+a}\ge1\)
Thật vậy, ta có:
\(VT=\dfrac{b^2}{2ab+b^2}+\dfrac{c^2}{2bc+c^2}+\dfrac{a^2}{2ca+a^2}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
b.
Chuẩn hóa \(a+b+c=1\), BĐT cần chứng minh trở thành:
\(\dfrac{a}{\left(a+2b\right)^2}+\dfrac{b}{\left(b+2c\right)^2}+\dfrac{c}{\left(c+2a\right)^2}\ge1\)
Ta có:
\(\dfrac{a}{\left(a+2b\right)^2}+a\left(a+2b\right)+a\left(a+2b\right)\ge3a\)
Tương tự:
\(\dfrac{b}{\left(b+2c\right)^2}+b\left(b+2c\right)+b\left(b+2c\right)\ge3b\)
\(\dfrac{c}{\left(c+2a\right)^2}+c\left(c+2a\right)+c\left(c+2a\right)\ge3c\)
Cộng vế:
\(VT+2\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow VT+2\ge3\)
\(\Leftrightarrow VT\ge1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Câu 3:
2: Xét tứ giác OKEH có
\(\widehat{OKE}=\widehat{OHE}=\widehat{KOH}=90^0\)
Do đó: OKEH là hình chữ nhật
mà đường chéo OE là tia phân giác của \(\widehat{KOH}\)
nên OKEH là hình vuông
a) Xét tứ giác ADHE có
\(\widehat{ADH}\) và \(\widehat{AEH}\) là hai góc đối
\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: ADHE là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
với x=0 thì không là nghiệm của hệ phương trình
xét x\(\ne\)0 thì chia hai vế của pt(2) cho x thì ta được \(y=\frac{3}{x}+x\) và thay \(xy=3+x^2\) vào
pt (1)
\(\sqrt{x^2-3}=12-\left(\frac{3}{x}+x\right)^2=-\left(\frac{3}{x}-x\right)^2\le0\)
do đó x2=3
tới đây tự làm là ngon
\(P=3b-2\sqrt{ab}+\frac{a}{3}+\frac{2a}{3}-2\sqrt{a}+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\)
\(P=\left(\sqrt{3b}-\sqrt{\frac{a}{3}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{2}{3}a}-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra (Bạn tự giải)
(nhớ k để làm tiếp)
a) Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
nên \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
\(\Leftrightarrow\widehat{C}+35^0=90^0\)
hay \(\widehat{C}=55^0\)
Xét ΔABC vuông tại A có
\(AC=AB\cdot\tan35^0\)
\(\Leftrightarrow AC=6\cdot\tan35^0\)
hay \(AC\simeq4,2\left(cm\right)\)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+4.2^2=53.64\)
hay \(BC\simeq7.32\left(cm\right)\)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
\(\Leftrightarrow AH\cdot7.32=4.2\cdot6=25.2\)
hay \(AH\simeq3.44\left(cm\right)\)
Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(gt)
nên \(AM=\dfrac{1}{2}BC\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
hay \(AM=\dfrac{1}{2}\cdot7.32=3.66\left(cm\right)\)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHM vuông tại H, ta được:
\(AM^2=AH^2+MH^2\)
\(\Leftrightarrow MH^2=3.66^2-3.44^2=1.562\)
hay \(MH\simeq1.25\left(cm\right)\)
Diện tích tam giác AHM là:
\(S_{AHM}=\dfrac{AH\cdot HM}{2}=\dfrac{3.44\cdot1.25}{2}=2.15\left(cm^2\right)\)