Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(\frac{b}{b}.\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\frac{c}{c}.\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\frac{a}{a}.\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)
\(\le\frac{1}{b}.\left(\frac{3b^2+a^2}{4}\right)+\frac{1}{c}.\left(\frac{3c^2+b^2}{4}\right)+\frac{1}{a}.\left(\frac{3a^2+c^2}{4}\right)\)
\(=\frac{1}{4}.\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{3}{4}.\left(a+b+c\right)\)
Ta cần chứng minh
\(\frac{1}{4}.\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{3}{4}.\left(a+b+c\right)\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\ge\left(a+b+c\right)\)
Mà: \(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Vậy có ĐPCM.
Câu b làm y chang.
Ta luôn có :
\(\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b\right)}{ab}\ge\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{2\left(a+b\right)}{ab}}\ge\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế :
\(\sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}\right)\)
\(\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}\ge\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!
Đặt \(\frac{1}{\sqrt{a}}=x,\frac{1}{\sqrt{b}}=y,\frac{1}{\sqrt{c}}\)=z
Thay vào ta có:\(\sqrt{2}\)(x+y+x)\(\le\)\(\sqrt{\left(x^2+y^2\right)}+\sqrt{x^2+z^2}+\sqrt{\left(y^2+z^2\right)}\)
Ta có bất đẳng thức sau A: (m2+n2)(p2+q2)\(\ge\)(mp+nq)2 dễ dàng chứng mình bằng cách khai triển
áp dụng bdt A với m=x,n=z,p=\(\sqrt{2}\).q=\(\sqrt{2}\) ta được
\(\sqrt{\frac{\left(x^2+z^2\right)\left(\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2\right)}{4}}\ge\sqrt{\left(x\sqrt{2}+z\sqrt{2}\right)^2}\)/2=\(\frac{\sqrt{2}\left(x+y\right)}{2}\)
Tương tự với cái phần tử còn lại ta được điều cần cm
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
Với a,b,c > 0 ta có :
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{a}{\frac{a+\left(b+c\right)}{2}}=\frac{2a}{a+b+c}\)( Áp dụng \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\) )
Tương tự ta cũng có :
\(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c};\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế với vế , ta được :
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dấu " = " xay ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{matrix}\right.\), vô nghiệm vì a,b,c >0
Do đó : \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\left(1\right)\)
Lại có :
\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng lại ta được :
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2 ) \(\Rightarrowđpcm\)
Chúc bạn học tốt !!
có thể là bé hơn hoặc bằng,các bạn thử cho mình với nhé
áp dụng Bất Đẳng Thức CBS \(\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}=\sqrt{\left(a+4b\right)\left(3a+2b\right)}\le\frac{1}{2}\left(4a+6b\right)\)
(BĐT CBS) do đó ta \(\Rightarrow\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}\ge\frac{a^2}{2a+3b}\)
tương tư với mẫu còn lại
\(\Rightarrow\Sigma\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}\ge\Sigma\frac{a^2}{2a+3b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{5}\left(Q.E.D\right)\)
đẳng thức xảy ra khi a=b=c
bài n t vừa làm mà, vào link này nhé
https://olm.vn/hoi-dap/question/1129328.html
Theo BĐT AM-GM :
\(\sqrt{b}=\sqrt{b\cdot1}\le\frac{b+1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}\ge\frac{a}{\frac{b+1}{2}}=\frac{2a}{b+1}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)
+ Tương tự ta cm đc :
\(\frac{b}{\sqrt{c}}\ge\frac{2b}{c+1}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\)
\(\frac{c}{\sqrt{a}}\ge\frac{2c}{a+1}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)
Do đó : \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+}+\frac{c}{a+1}\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)