Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) ĐK: \(0< a< 1\)
\(Q=\left(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{1-a}{\sqrt{1-a^2}-1+a}\right)\left(\sqrt{\frac{1}{a^2}-1}-\frac{1}{a}\right)\sqrt{a^2-2a+1}\)
\(=\left(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{1-a}{\sqrt{1-a}\left(\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}\right)}\right)\left(\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}-\frac{1}{a}\right).\sqrt{\left(1-a\right)^2}\)
\(=\left(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}\right).\frac{\sqrt{1-a^2}-1}{a}.\left(1-a\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}\right)^2}{\left(\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}\right)\left(\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}\right)}.\frac{\sqrt{1-a^2}-1}{a}.\left(1-a\right)\)
\(=\frac{2+2\sqrt{1-a^2}}{2a}.\frac{\sqrt{1-a^2}-1}{a}.\left(1-a\right)\)
\(=\frac{\sqrt{1-a^2}+1}{a}.\frac{\sqrt{1-a^2}-1}{a}.\left(1-a\right)\)
\(=\frac{-a^2\left(1-a\right)}{a^2}=a-1\)
\(Q=\left(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{1-a}{\sqrt{1-a^2}-1+a}\right)\left(\sqrt{\frac{1}{a^2}-1}-\frac{1}{a}\right)\sqrt{a^2-2a+1}\)
\(=\left(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{1-a}{\sqrt{1-a}\left(\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}\right)}\right)\left(\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}-\frac{1}{a}\right).\sqrt{\left(1-a\right)^2}\)
\(=\left(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}\right).\frac{\sqrt{1-a^2}-1}{a}.\left(1-a\right)\)
\(=\frac{\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}.\frac{\sqrt{1-a^2}-1}{a}.\left(1-a\right)\)
\(=\frac{2+2\sqrt{1-a^2}}{2a}.\frac{\sqrt{1-a^2}-1}{a}.\left(1-a\right)\)
\(=\frac{\sqrt{1-a^2}+1}{a}.\frac{\sqrt{1-a^2}-1}{a}.\left(1-a\right)\)
\(=\frac{-a^2\left(1-a\right)}{a^2}=a-1\)
b) Xét: \(Q^3-Q=\left(a-1\right)^3-\left(a-1\right)=\left(a-1\right)^2\left(a-1-1\right)=\left(a-1\right)^2\left(a-2\right)\)
Do \(a< 1\)=> \(a-2< 0\) và \(a-1< 0\)
nên \(\left(a-1\right)^2\left(a-2\right)< 0\)
=> \(Q^3-Q< 0\)
<=> \(Q^3< Q\)
Bài 1:
Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\)
Ta có:\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}\right]\)
Tương tự với \(\sqrt{\frac{y}{y+z}}\)và \(\sqrt{\frac{z}{z+x}}\)
Cộng lại ta được:
\(\frac{\sqrt{2}}{3}\left[\frac{x\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]+\frac{3}{2\sqrt{2}}\le\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
Sau đó bình phương hai vế rồi
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)đẳng thức đúng
Vậy...
Bài 2:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\le\frac{1}{3}\)
Nhân cả hai vế bđt với 4(a+b+c)4(a+b+c) rồi thu gọn ta được bđt sau:
\(\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+c}+\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}+\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}\)\(\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\left[\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+}-a\right]+\left[\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}-b\right]+\left[\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}-c\right]\le\frac{a+b+c}{3}\)
\(\frac{ca}{4a+4b+c}+\frac{ab}{4b+4c+a}+\frac{bc}{4c+4a+b}\le\frac{a+b+c}{9}\)
Áp dụng bđt cauchy-Schwarz ta có \(\frac{ca}{4a+4b+c}=\frac{ca}{\left(2b+c\right)+2\left(2a+b\right)}\)\(\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}\right)\)
Từ đó ta có:
\(\text{∑}\frac{ca}{4a+4b+c}\le\frac{1}{9}\text{∑}\left(\frac{ca}{2b+c}+\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ab}{2b+c}\right)=\frac{a+b+c}{9}\)
Đặt VT=A rồi áp dụng bđt cauchy-Schwarz cho VT ta có
\(T^2\le3\left(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\right)\)\(\le3\cdot\frac{1}{3}=1\Leftrightarrow T\le1\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
c bạn tự làm nhé mình mệt rồi :D
Ta có: \(tan\frac{B}{2}=\frac{x}{c}\)
Lại có \(AB=BH=c\Rightarrow HC=a-c\)
Ta có: \(DC^2=DH^2+DC^2\Rightarrow\left(b-x\right)^2=x^2+\left(a-c\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2bx+b^2=x^2+\left(a-c\right)^2\Rightarrow x=\frac{b^2-\left(a-c\right)^2}{2b}=\frac{a^2-c^2-a^2+2ac-c^2}{2b}\)
\(=\frac{2ac-2c^2}{2b}=\frac{c\left(a-c\right)}{b}\)
\(\left(\frac{x}{c}\right)^2=\frac{\left(a-c\right)^2}{b^2}=\frac{\left(a-c\right)^2}{a^2-c^2}=\frac{a-c}{a+c}\)
\(\Rightarrow tan\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{a-c}{a+c}}\)
Ở onlinemath thì đông người thật nhưng không làm được bài khó
=> sang miny nhé bạn , bạn đặt câu hỏi rồi hỏi luôn emkhongnumberone ( thiên tài trong miny )
=> miny ít người nhưng rất hay onl và rất thông minh
thằng kia mày nghĩ sao trong onlime math k ai làm đươc bài khó
a, Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y.\)Bất đẳng thức ban đầu trở thành: \(\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le xy.\)
ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{2x^2y^2}{2xy}=xy.\)(đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi x = y > 0
vậy bất đăng thức ban đầu đúng. dấu " = " xẩy ra khi a = b >0
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\) ???
Gì kì vậy, làm mình mừng hụt.