Question

[Lê Hà Phương]

Giải phương trình: \(\hept{\begin{cases}2x^4+3x^3+45x=27y^2\\2y^2-x^2+1=\sqrt{3y^4-4x^2+6y^2-2x^2y^2}\end{cases}}\)

Answer 1

[ʚ๖ۣۜAηɗσɾɞ‏]

\(_{\hept{2y^2}-x^2+1=\sqrt{3y^4-4x^2+6y^2-2x^2y^2\left(2\right)}}2x^4+3x^3+45x=27x^2\left(1\right)\)

ĐK: \(2y^2+1\ge1\)

Phương trình 2 tương đương:

\(\left(2y^2-x^2+1\right)^2=3y^4-4x^2+6x^2-2x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow y^4+2x^2-2x^2y^2+x^{2+2}+1-2y^2=0\)

Các lập phương được cấu tạo từ \(x^2y^2\)nên :

\(\Leftrightarrow\left(y^4-2x^2y^2+y^4\right)-2\left(y^2-x^2\right)+1=0\)

Đảo chiều:

\(\Leftrightarrow\left(y^2-x^2-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow y^2=x^2+1\left(3\right)\)

Thế \(x^2+1=y^2\)vào phương trình (1) ta có :

\(2x^4+3x^3+45x=27\left(x^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^4+3x^3-27x^2+45x-27=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(2x^3+6x^2-18x+18\right)=0\)

Chuyển: \(x=\frac{3}{2}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{13}}{2}\)

\(\Leftrightarrow[x=-\sqrt[3]{16-\sqrt[3]{4}}-1\Rightarrow y=\sqrt{\left(\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}+1\right)^2+1}\)