Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ phương trình thứ nhất ta có : \(y=x-2\)
Thay vào phương trình thứ 2, ta được :
\(3^{x^2+x-2}=3^{-2}\)
Do đó
\(x^2+x-2=-2\) nên \(x=0\) hoặc \(x=-1\)
Suy ra \(y=-2\) hoặc \(y=-3\)
Vậy hệ có 2 nghiệm là \(\left(0;-2\right)\) và \(\left(-1;-3\right)\)
Giải hệ phương trình sau :
\(\begin{cases}9^{2\cot x+\sin y}=3\\9^{\sin y}-81^{\cot x}=2\end{cases}\)
Đặt \(\begin{cases}u=9^{\sin x}\\v=-9^{2\cot x}\end{cases}\) (u>0, v<0)
Hệ trở thành
\(\begin{cases}u+v=2\\u.v=-3\end{cases}\)
Khi đó u, v là nghiệm của phương trình \(t^2-2t-3=0\)
Phương trình này có 2 nghiệm t=-1 và t=3.
Vì u>0, v<0 nên v=3, v=-1
Thay lại ta được\(\begin{cases}9^{\sin y}=3\\-9^{2\cot x}=-1\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\sin y=\frac{1}{2}\\\cot x=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}\begin{cases}y=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\end{cases}\\x=\frac{\pi}{2}+l\pi\end{cases}\) (\(k,l\in Z\))
Trừ hai phương trình theo vế, ta được :
\(2^x+3x=2^y+3y\)
Xét hàm số : \(f\left(t\right)=2^t+3t\)
Dễ thấy f(t) đồng biến trên R
Do đó, từ \(f\left(x\right)=f\left(y\right)\) suy ra x=y.
Thay vào phương trình thứ nhất la được :
\(2^x=3-x\)
Phương trình này có nghiệm duy nhất x=1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;1)
Điều kiện \(x,y>0,x\ne1,y\ne1\) Hệ tương đương với
\(\begin{cases}\frac{1}{2}\log_y\left(xy\right)=\log_xy\\2^x+2^y=3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\log_yx+1=\frac{2}{\log_yx}\\2^x+2^y=3\end{cases}\)
Giải phương trình thú nhất ẩn \(t=\log_yx\) ta thu được \(t=1;t=-2\)
Do đó x=y hoặc \(x=\frac{1}{y^2}\)
Với x=y thế vào phương trình 2 ta thu được \(x=\log_2\frac{3}{2}\)
Với \(x=\frac{1}{y^2}\), thế vào phương trình 2 ta được :
\(2^y+2^{\frac{1}{y^2}}=3\left(y>0,y\ne1\right)\)
Phương trình này vô nghiệm, thật vậy :
+ Nếu \(y>1\) thì \(2^y>2\) và \(2^{\frac{1}{y^2}}>2^o=1\) suy ra vế trái >2=VP
+ 0<y<1 thì \(2^y>1\)và \(2^{\frac{1}{y^2}}>2^1=2\) suy ra vế trái >2=VP
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left(\log_2\frac{3}{2};\log_2\frac{3}{2}\right)\)
Điều kiện \(x>0.y>0,y\ne1\)
Với điều kiện này thì phương trình thứ nhất tương đương với \(x=y^2\)
Thế vào phương trình thứ 2 ta được :
\(\log_2y=\log_yy^2\Leftrightarrow y=4\)
Suy ra x=16.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (16;4)
Điều kiện x,y dương.
Từ phương trình thứ nhất suy ra
\(y=30-x\)
Thế vào phương trình thứ 2 ta được :
\(\ln x+\ln\left(30-x\right)=3\ln6\)
\(\Leftrightarrow\ln x\left(30-x\right)=\ln6^3\)
Suy ra x=18 hoặc x=12
Từ đó suy ra hệ có 2 nghiệm
(18;12) và (12;18)
Điều kiện x, y dương
Đặt \(u=lgx,v=lgy,\left(u>0\right)\), ta có hệ :
\(\begin{cases}u+2v=3\\u^2-6v=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}2v=3-u\\u^2+3u-10=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}u=2\\v=\frac{1}{2}\end{cases}\)
Từ đó tính ra được x=4, \(y=\sqrt{10}\)
Điều kiện là x;y là các số nguyên dương
Đặt u=lgx và vlgy (u>0) , ta có hệ phương trình sau :
\(\begin{cases}u+2v=3\\u^2-6v=1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2v=3-u\\u^2+3u-10=0\end{cases}\Leftrightarrow}\begin{cases}u=2\\v=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Từ đó ta thay u=2 và v=1/2 vào phương trình rồi tìm x;y
ĐK:\(x\ge2;y\ge0\)
\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3-3\left(x-1\right)=\left(y+3\right)\sqrt{y+3}-3\sqrt{y+3}\)
Xét hàm số:\(f\left(t\right)=t^3-3t\),t>1
\(\Rightarrow f'\left(t\right)=3t^2-3>0,t>1\)
\(\Rightarrow x-1=\sqrt{y+3}\)(*)
pt(2)\(\Leftrightarrow9\left(x-2\right)=y^2+8y\)(2')
Thay (*) vào (2') ta đc:\(9\left(\sqrt{y+3}-1\right)=y^2+8y\)
\(\Leftrightarrow9\sqrt{x+3}=y^2+8y+9\)\(\Leftrightarrow y=1\Rightarrow x=3\)(t/m)
KL:Hệ pt có nghiệm(x;y)=(3;1)
Lấy Logarit cơ số 2 cả 2 vế của 1 phương trình, ta có :
\(\begin{cases}x+y\log_23=2+\log_23\\x\log_23+y=1+2\log_23\end{cases}\)
Đây là hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn x,y. Nhân cả 2 vế của phương trình thứ nhất với \(\log_23\) rồi trừ cho phương trình thứ 2, ta được
\(y\left(\log^2_23-1\right)=\log^2_23-1\)
=> y=1
Dễ dàng suy ra x=2
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất là (2;1)