Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{x^2+yz}\le\frac{1}{2\sqrt{x^2.yz}}=\frac{1}{2\sqrt{xy.xz}}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\right)\)
Tương tự: \(\frac{1}{y^2+zx}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\right)\) ; \(\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}\right)\)
Cộng vế với vế ta sẽ có đpcm
Sorry nha mik mới học lớp 6 nên không giúp được bạn.
Chúc các bạn học thật giỏi !!!
Cảm ơn nhìu nhìu lắm...>.<
Áp dung BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(a,b,c>0\right)\)
\(=>x,y,z>0\left(taco\right)\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{9}{xy+yz+xz}\)
\(=>P\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+xz}\)
\(=>P\ge\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}\right)+\frac{7}{xy+yz+xz}\)
\(\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{7}{xy+yz+zx}\)
\(=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{7}{xy+yz+xz}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{21}{\left(x+y+z\right)^2}\ge30\)
do \(3\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2and\left(x+y+z=1\right)\)
dấu = xảy ra khi x=y=z=1/3
zậy...........
Đk: $x\geq \frac{1}{2}$
Pt $\Leftrightarrow 4x^2+3x-7=4(\sqrt{x^3+3x^2}-2)+2(\sqrt{2x-1}-1)$
$\Leftrightarrow +4\frac{(x-1)(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+4\frac{x-1}{\sqrt{2x-1}+1}-(x-1)(4x+7)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)[\frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-(4x+7)]=0$
$\Leftrightarrow x=1\vee \frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-4x-7=0$ $(*)$
Xét hàm số $f(x)=\frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-4x-7,x\in [\frac{1}{2};+\infty )$ thì $f(x)>0,\forall x\in [\frac{1}{2};+\infty )$
$\Rightarrow $ Pt $(*)$ vô nghiệm
\(ĐK:x,y,z\ne0\)
Đặt \(A=\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{yz}{x^2}=\frac{xyz}{z^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{x^3}=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)\)
Dễ CM \(x+y+z=0\) thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
=>\(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\left(\frac{1}{x}\right)^3+\left(\frac{1}{y}\right)^3+\left(\frac{1}{z}\right)^3=\frac{3}{xyz}\)
Do đó \(A=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)
Cách 1 : áp dụng hđt a3 +b3 +c3 = 3abc nếu a+b+c = 0 . cách này thì bạn có thể chúng minh đc nhưng hơi dài.
Cách 2 : ta sử dụng trực tiếp
\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=0 =>\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)=\(\frac{-1}{z}\)=> (\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\))3 = \(\frac{-1}{z^3}\)=> \(\frac{1}{x^3}\)+\(\frac{1}{y^3}\)\(+3\frac{1}{xy}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)= \(\frac{-1}{z^3}\) ( áp dụng từ hđt quen thuộc \(\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)) => \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+3\frac{1}{xy}\left(\frac{-1}{z}\right)\)= \(\frac{-1}{z^3}\)(vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)= 0)
chuyển vế ta có \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)( tương tự cách 1 nhưng cách 1 là ta áp dụng vào dạng tương tự)
Cũng từ 1 trong trong 2 cách này ta có đoạn sau giống nhau
\(\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{yz}{x^2}=\frac{xyz}{z^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{x^3}=xyz\left(\frac{1}{z^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)