Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1,\)
\(a,\) Sửa: \(A=10^n+72n-1⋮81\)
Với \(n=1\Leftrightarrow A=10+72-1=81⋮81\)
Giả sử \(n=k\Leftrightarrow A=10^k+72k-1⋮81\)
Với \(n=k+1\Leftrightarrow A=10^{k+1}+72\left(k+1\right)-1\)
\(A=10^k\cdot10+72k+72-1\\ A=10\left(10^k+72k-1\right)-648k+81\\ A=10\left(10^k+72k-1\right)-81\left(8k-1\right)\)
Ta có \(10^k+72k-1⋮81;81\left(8k-1\right)⋮81\)
Theo pp quy nạp
\(\Rightarrow A⋮81\)
\(b,B=2002^n-138n-1⋮207\)
Với \(n=1\Leftrightarrow B=2002-138-1=1863⋮207\)
Giả sử \(n=k\Leftrightarrow B=2002^k-138k-1⋮207\)
Với \(n=k+1\Leftrightarrow B=2002^{k+1}-138\left(k+1\right)-1\)
\(B=2002\cdot2002^k-138k-138-1\\ B=2002\left(2002^k-138k-1\right)+276138k+1863\\ B=2002\left(2002^k-138k-1\right)+207\left(1334k+1\right)\)
Vì \(2002^k-138k-1⋮207;207\left(1334k+1\right)⋮207\)
Nên theo pp quy nạp \(B⋮207,\forall n\)
\(2,\)
\(a,\) Sửa đề: CMR: \(1\cdot2+2\cdot3+...+n\left(n+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
Đặt \(S_n=1\cdot2+2\cdot3+...+n\left(n+1\right)\)
Với \(n=1\Leftrightarrow S_1=1\cdot2=\dfrac{1\cdot2\cdot3}{3}=2\)
Giả sử \(n=k\Leftrightarrow S_k=1\cdot2+2\cdot3+...+k\left(k+1\right)=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}\)
Với \(n=k+1\)
Cần cm \(S_{k+1}=1\cdot2+2\cdot3+...+k\left(k+1\right)+\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\)
Thật vậy, ta có:
\(\Leftrightarrow S_{k+1}=S_k+\left(k+1\right)\left(k+2\right)\\ \Leftrightarrow S_{k+1}=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}+\left(k+1\right)\left(k+2\right)\\ \Leftrightarrow S_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\)
Theo pp quy nạp ta có đpcm
\(b,\) Với \(n=0\Leftrightarrow0^3=\left[\dfrac{0\left(0+1\right)}{2}\right]^2=0\)
Giả sử \(n=k\Leftrightarrow1^3+2^3+...+k^3=\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2\)
Với \(n=k+1\)
Cần cm \(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left[\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)
Thật vậy, ta có
\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3\\ =\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3\\ =\dfrac{k^2\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)^3}{4}=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k^2+4k+4\right)}{4}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}=\left[\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)
Theo pp quy nạp ta được đpcm
Tất cả các đẳng thức trên đều được chứng minh theo phương pháp quy nạp
Đặt n = k thì có đẳng thức
Chứng minh rằng n = k+1 cũng đúng ( vế trái (k+1) = vế phải (k+1) )
1) Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh \(1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\). Do đó, để \(1^2+2^2+...+n^2⋮̸5\) thì \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮̸5\). Điều này có nghĩa là \(n\equiv3\left(mod5\right)\) hoặc \(n\equiv1\left(mod5\right)\). Tóm lại, để \(1^2+2^2+...+n^2⋮̸5\) thì \(n\equiv3\left(mod5\right)\) hoặc \(n\equiv1\left(mod5\right)\).
2) Ta so sánh \(a^3-7a^2+4a-14\) với \(a^3+3\). Ta thấy \(\left(a^3-7a^2+4a-14\right)-\left(a^3+3\right)\) \(=-7a^2+4a-17=D\). dễ thấy với mọi \(a\inℤ\) thì \(D< 0\) (thực ra với mọi \(a\inℝ\) thì vẫn có \(D< 0\)) nên \(a^3-7a^2+4a-14< a^3+3\), vì vậy \(a^3-7a^2+4a-14⋮̸a^3+3\). Vậy, không tồn tại \(a\inℤ\) thỏa mãn ycbt.
Mình làm 2 bài này trước nhé.
P = 12 + 22 + 32 +...+n2 không chia hết cho 5
P = 1.(2-1) + 2.(3-1) + 3.(4-1)+...+n(n +1 - 1)
P = 1.2-1+ 2.3 - 2+ 3.4 - 3+...+ n(n+1) - n
P = 1.2 + 2.3 + 3.4+ ...+n(n+1) - (1+2+3+...+n)
P = n(n+1)(n+2):3 - (n+1)n:2
P = n(n+1){ \(\dfrac{n+2}{3}\) - \(\dfrac{1}{2}\)}
P = n(n+1)(\(\dfrac{2n+1}{6}\)) không chia hết cho 5
⇒ n(n+1)(2n+1) không chia hết cho 5
⇒ n không chia hết cho 5
⇒ n = 5k + 1; n = 5k + 2; n = 5k + 3; n = 5k + 4
th1: n = 5k + 1 ⇒ n + 1 = 5k + 2 không chia hết cho 5 ; 2n + 1 = 10n + 3 không chia hết cho 5 vậy n = 5k + 1 (thỏa mãn)
th2: nếu n = 5k + 2 ⇒ n + 1 = 5k + 3 không chia hết cho 5; 2n + 1 = 10k + 5 ⋮ 5 (loại)
th3: nếu n = 5k + 3 ⇒ n + 1 = 5k +4 không chia hết cho 5; 2n + 1 = 10k + 7 không chia hết cho 5 (thỏa mãn)
th4 nếu n = 5k + 4 ⇒ n + 1 = 5k + 5 ⋮ 5 (loại)
Từ những lập luận trên ta có:
P không chia hết cho 5 khi
\(\left[{}\begin{matrix}n=5k+1\\n=5k+3\end{matrix}\right.\) (n \(\in\) N)
\(n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3\)
\(=\left(n+n+2\right)\left[n^2-n\left(n+2\right)+\left(n+2\right)^2\right]+\left(n+1\right)^3\)
\(=2\cdot\left(n+1\right)\left[n^2-n^2-2n+n^2+4n+4\right]+\left(n+1\right)^3\)
\(=\left(n+1\right)\left[2\left(n^2+2n+4\right)+n^2+2n+1\right]\)
\(=\left(n+1\right)\left(2n^2+4n+8+n^2+2n+1\right)\)
\(=\left(n+1\right)\left(3n^2+6n+9\right)\)
\(=3\left(n+1\right)\left(n^2+2n+3\right)\)\(=3n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+9\left(n+1\right)\)
n;n+1;n+2 là 3 số liên tiếp nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3!=6\)
=>\(3n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\cdot6=18\)
=>\(3n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮9\)
mà 9(n+1) chia hết cho 9
nên \(3n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+9\left(n+1\right)⋮9\)
=>\(n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3⋮9\)