Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Dùng (a+b)2≥4ab
Chia hai vế cho a+b ( vì ab khác 0)
Ta có a+b≥\(\frac{4ab}{a+b}\) (Chuyển ab sang a+b) ta có
\(\frac{a+b}{ab}\)≥\(\frac{4}{a+b}\) <=> \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)≥\(\frac{4}{a+b}\)
\(\frac{a\left(a+c-2b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(b+a-2c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(c+b-2a\right)}{1+ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(1-b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(1-c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(1-a\right)}{1+ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{1+ab}+\frac{b}{1+bc}+\frac{c}{1+ca}\right)-\left(\frac{ab}{1+ab}+\frac{bc}{1+bc}+\frac{ca}{1+ca}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{1+ab}+\frac{b}{1+bc}+\frac{c}{1+ca}\right)+\left(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\right)\ge3\)
Đến đây chia làm 2 bài toán :D
\(\frac{a}{1+ab}=a-\frac{a^2b}{1+ab}\ge a-\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{a^3b}}{2}\)
Tương tự rồi cộng lại:
\(\frac{a}{1+ab}+\frac{b}{1+bc}+\frac{c}{1+ca}\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}\right)\)
\(\ge a+b+c-\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\ge\frac{9}{3+ab+bc+ca}=\frac{9}{3+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{3}{2}\)
Cộng 2 cái lại có ngay đpcm
Từ \(ab+bc+ca=5abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=5\)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có :
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+a+b+b+c\right)\ge\left(1+1+1+1+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{25}{2a+2b+c}\)
Tương tự ta có :
\(\frac{2}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{25}{2b+2c+a}\)
\(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\ge\frac{25}{2a+b+2c}\)
Cộng từng vế BĐT ta thu được :
\(\frac{5}{a}+\frac{5}{b}+\frac{5}{c}\ge25P\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{5\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}{25}=1\)
Vậy BĐT đã được chứng minh . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{5}\)
Cauchy-Schwarz dạng Engel 2 lần :
\(P=\frac{1}{a\left(2b+2c-1\right)}+\frac{1}{b\left(2c+2a-1\right)}+\frac{1}{c\left(2a+2b-1\right)}\)
\(P=\frac{1}{a\left(-a+b+c\right)}+\frac{1}{b\left(a-b+c\right)}+\frac{1}{c\left(a+b-c\right)}\)
\(P=\frac{1}{a-2a^2}+\frac{1}{b-2b^2}+\frac{1}{c-2c^2}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)-2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\frac{9}{1-\frac{2}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}=27\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
Cách của bạn sao chỗ cuối lại thế ạ ? Bạn giải hộ mình rõ hơn được không ?
\(a+b=1-c>\frac{1}{2}>c\)
Tương tự \(b+c>a;a+c>b\)
\(VT=\frac{1}{a\left(b+c-a\right)}+\frac{1}{b\left(a+c-b\right)}+\frac{1}{c\left(a+b-c\right)}\)
\(VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c-a\right)^2}+\frac{4}{\left(b+a+c-b\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a+b-c\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a\right)^2}\ge\frac{4}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)^2\)
\(VT\ge\frac{4}{3}\left(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\right)^2=\frac{4.81}{3.4}=27\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(VT\ge\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}=\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)+\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(VT\ge\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}+\frac{4}{2a+b+c}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
a/ BĐT sai, cho \(a=b=c=2\) là thấy
b/ \(VT=\frac{a^4}{a^2+2ab}+\frac{b^4}{b^2+2bc}+\frac{c^4}{c^2+2ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
c/ Tiếp tục sai nữa, vế phải là \(\frac{3}{2}\) chứ ko phải \(2\), và hy vọng rằng a;b;c dương
\(VT=\frac{a^2}{abc.b+a}+\frac{b^2}{abc.c+b}+\frac{c^2}{abc.a+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)+a+b+c}\)
\(VT\ge\frac{9}{3abc+3}\ge\frac{9}{\frac{3\left(a+b+c\right)^3}{27}+3}=\frac{9}{\frac{3.3^3}{27}+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có:
\(a^3+b^3+b^3\ge3ab^2\) ; \(b^3+c^3+c^3\ge3bc^2\) ; \(c^3+a^3+a^3\ge3ca^2\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ab^2+bc^2+ca^2\)
\(\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}=\frac{a^6}{ab^2}+\frac{b^6}{bc^2}+\frac{c^6}{ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=a^3+b^3+c^3\)
