Question

[Nguyễn Văn Nam]

cmr

• 7⁶+7⁵-7⁴  chia het cho 55
• 81⁷ +27⁹-9 chia het cho 405

Answer 1

[Nguyen Viet Bac]

• 7⁶+7⁵-7⁴  chia het cho 55

Đặt A = 7⁶+7⁵-7⁴  

=> A = 7⁴.( 7² + 7 - 1 )

=> A = 7⁴ . ( 49 + 6 )

=> A = 7⁴ . 55 

=> A chia hết cho 55 

Đặt B = 81⁷ + 27⁹ - 9  ( Phần này hơi khó nhưng mình làm giùm bạn theo cách MOD )

Gọi     I = 81⁷

Ta có : 405 = 81 . 5

vì 81⁷ đồng dư với 0 ( Mod 81) => I chia hết cho 81 => I = 81k ( k\(\ne\)0) (1)

Vì 81 đồng dư với 1 ( Mod 5 ) => 81⁷ đồng dư với 1⁷ đồng dư với 1 (Mod 5 )

=> I - 1 chia hết cho 5 ( 2 )

Mà I = 81k (theo 1)

=> I - 1 = 81k -1  ( 3 )

=> I - 1 = 80k + k - 1 

Mà I - 1 Chia hết cho 5 ( theo 2 ) , 80k chia hết cho 5

=> k - 1 chia hết cho 5

Đặt k = 5q + 1 

Thay vào Biểu Thức 3 ta có :

I - 1 = 81 (5q + 1) - 1

=> I = 405q + 81

=> I chia cho 405 dư 81

Gọi 27⁹ là H

Ta có :

27⁹ đồng dư với 0 (Mod 81)

=> H chia Hết 81 => H = 81k ( k\(\ne\)0)

Vì 27⁹  = 3²⁷ 

Mà 3⁴ đồng dư với 1 theo (mod 5)

 3²⁷ = 3²⁴ . 27 mà 3²⁴ đồng dư với 1 (mod 5) ; 27 chia 5 dư 2

=> 3²⁷ đồng dư với 1 . 2 = 2 (mod 5 )

=> H - 2 chia hết cho 5

vì H = 81k 

=> H - 2 = 81k - 2 

=> H - 2 = 80k + k - 2 

Vì H - 2 chia hết cho 5 ; 80k chia hết cho 5 

=> k - 2 chia hết cho 5

Đặt k = 5q + 2 

Thay vào Ta có :

H = 81 ( 5q + 2 )

=> H = 405q + 162

=> H chia 405 dư 162

Ta có :

I + H - 9 đồng dư với 81 + 162 - 9 = 234

Như vậy 81⁷ +27⁹-9  không chia hết cho 405 

hay nói cách khác là bài toán bị sai