Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa đề là với n >= 2 nhé!Mình cũng không chắc nx!Mình ngu dạng này lắm=(((
Với n = 2 thì \(VT=\frac{1}{5}+\frac{2}{13}+\frac{1}{25}< \frac{9}{20}\) (đúng)
Mệnh đề đúng với n = 2
Giả sử đúng với n = k (k>= 2)tức là \(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{k^2+\left(k+1\right)^2}< \frac{9}{20}\) (giả thiết qui nạp)
Ta chứng minh nó đúng với n = k + 1 tức là c/m \(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{\left(k+1\right)^2+\left(k+2\right)^2}< \frac{9}{20}\)
Ta có: VT = \(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{\left(k+1\right)^2+\left(k+2\right)^2}< \frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{k^2+\left(k+1\right)^2}< \frac{9}{20}\)
a ) \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)
\(< \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\right)=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{n}\right)< \frac{1}{2}\)
b )
\(B=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}< \frac{1}{3^2-1}+\frac{1}{5^2-1}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)^2-1}\)
\(=\frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+...+\frac{1}{2n\left(2n+2\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-...+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+2}\right)< \frac{1}{4}\).
Câu hỏi của Nguyễn Thái Hà - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo nhé!
\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)+\left(1-\frac{1}{3^2}\right)+\left(1-\frac{1}{4^2}\right)+...+\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\)
\(=\left(n-1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< n-1\)
Ta có \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(=1-\frac{1}{n}\)
\(\Rightarrow\left(n-1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< \left(n-1\right)-\left(1-\frac{1}{n}\right)\)> n - 2
Vậy S không là số tự nhiên
\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(A< 1-\frac{1}{n}< 1\)
Vậy \(A< 1\)
\(B=\frac{1}{2^2}\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)=\frac{1}{2^2}\left(1+A\right)\)
Mà \(A< 1\Rightarrow B< \frac{1}{2^2}\left(1+1\right)=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\)
Tuowgn đương chứng minh: A= \(\left(n-1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\) không là số tự nhiên.
mà \(0< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{\left(n-1\right).n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}< 1\) => n-2 <A<n+1 =<A không phải là 1 số tự nhiên
chứng minh bài toán theo cách quy nạp toán học.
Với n=2 suy ra:\(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{13}{14}\left(TM\right)\)
Giả sử bài toán trên đúng với mọi n=k,ta cần chứng minh nó đúng với n=k+1,tức là:
\(S_k=\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\frac{1}{k+4}+....+\frac{1}{2\left(k+1\right)}>\frac{13}{14}\)
Thật vậy:
\(\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac{1}{2\left(k+1\right)}\)
\(=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+....+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k+1}\)
\(=S_k+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k+1}\)
\(>\frac{13}{14}+\frac{2k+2}{2\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}+\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}-\frac{2\left(2k+1\right)}{2\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}\)
\(=\frac{13}{14}+\frac{2\left(k+1\right)+2k+1-2\left(2k+1\right)}{2\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}\)
để dễ hiểu,,mik xin viết thêm nha(không phải để kiếm điểm,có người nhờ nên mới thế này:))
\(\frac{13}{14}+\frac{2\left(k+1\right)+2k+1-2\left(2k+1\right)}{2\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}\)
\(=\frac{13}{14}+\frac{1}{2\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}>\frac{13}{14}\left(k>1\right)\)
\(\Rightarrow S_{k+1}>\frac{13}{14}\)
\(\Rightarrow S_k>\frac{13}{14}\)
Phép chứng minh hoàn tất_._