Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
<< nhắc lại một số tính chất cơ bản:
* n² hoặc chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1
* n² hoặc chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1
* n^4 hoặc chia hết cho 5 hoặc chia 5 dư 1
chứng minh đơn cũng đơn giản (xem như là các bài tập nhỏ)
- - -
1a) A = n²(n²-1)
* vì n² chia 3 dư 0 hoặc 1 nên n² và n²-1 có một số chia hết cho 3
=> n²(n²-1) chia hết cho 3
* n² chia 4 dư 0 hoặc 1 nên n²(n²-1) có một số chia hết cho 4
=> n²(n²-1) chia hết cho 4
vì 3 và 4 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A = n²(n²-1) chia hết cho 3.4 = 12
1b) B = n²(n^4-1)
* B = n²(n²-1)(n²+1)
theo câu a thì có n²(n²-1) chia hết cho 12 => B chia hết cho 12
* từ lí thuyết trên có n² chia 5 dư 0 hoặc 1 => n² và n²-1 có 1 số chia hết cho 5
=> B chia hết cho 5
do 12 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau => B chia hết cho 12*5 = 60
c) C = mn(m^4-n^4)
* nếu m, hoặc n có số chia hết cho 5 => C chia hết cho 5
Xét m và n đều không chia hết cho 5, từ lí thuyết trên ta có:
m^4 chia 5 dư 1 và n^4 chia 5 dư 1 => (m^4 - n^4) chia 5 dư 1-1 = 0
tóm lại ta có C chia hết cho 5
* C = mn(m^4-n^4) = mn(m²-n²)(m²+n²)
nếu m hoặc n có số chẳn => C chia hết cho 2
nếu m và n cùng lẻ => m² và n² là hai số lẻ => m²-n² chẳn
tóm lại C chia hết cho 2
* nếu m, n có số chia hết cho 3 => C chia hết cho 3
nếu m và n đều không chia hết cho 3, từ lí thuyết trên ta có:
m² và n² chia 3 đều dư 1 => m²-n² chia hết cho 3
tóm lại C chia hết cho 3
Thấy C chia hết cho 5, 2, 3 là 3 số nguyên tố
=> C chia hết cho 5*2*3 = 30
1d) D = n^5 - n = n(n^4-1)
* nếu n chia hết cho 5 => D chia hết cho 5
nếu n không chia hết cho 5 => n^4 chia 5 dư 1 => n^4-1 chia hết cho 5
tóm lại ta có D chia hết cho 5
* D = n(n²-1)(n²+1) = (n-1)n(n+1)(n²+1)
tích của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 6 (vì có đúng 1 số chia hết cho 3, và ít nhất 1 số chia hết cho 2)
=> D chia hết cho 6
D chia hết cho 2 số nguyên tố cùng nhau là 5 và 6 => D chia hết cho 5*6 = 30
1e) E = 2n(16-n^4) = 2n(1-n^4 + 15) = 2n(1-n^4) + 30n = E' + 30n
từ câu d ta đã cứng mình D = n(n^4-1) chia hết cho 30
=> n(1-n^4) = -n(n^4-1) chia hết cho 30 => E' chia hết cho 30
=> E = E' + 30n chia hết cho 30
2) P = n^5/5 + n^3/3 + 7n/15 =
= (n^5 - n + n)/5 + (n^3 -n +n)/3 + 7n/15
= (n^5 -n)/5 + (n^3 -n)/3 + n/5 + n/3 + 7n/15
* từ câu d ta có n^5 - n chia hết cho 30 => n^5 -n chia hết cho 5
=> (n^5 - n)/5 = a (thuộc Z)
* n^3 - n = n(n²-1)(n²+1) = (n-1)n(n+1)(n²+1) có tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3
=> (n^3 - n)/3 = b (thuộc Z)
* n/5 + n/3 + 7n/15 = 15n/15 = n (thuộc Z)
Vậy: P = a + b + n thuộc Z
- - - - -
Nguồn:__|trituyet|__
a) Xét n2+4n+3= n2+n+3n+3= n(n+1) + 3(n+1)= (n+1)(n+3)
Mà n là số nguyên lẻ nên n chia cho 2 dư 1 hay n= 2k+1( k thuộc Z)
do đó n2+4n+3= (n+1)(n+3)= (2k+1+1)(2k+1+3)= (2k+2)(2k+4)
= 2(k+1)2(k+2)= 4(k+1)(k+2)
Mà (k+1)(k+2) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.
Vậy n2+4n+3= (n+1)(n+3)= 4(k+1)(k+2) chia hết cho 4; chia hết cho 2
=>n2+4n+3 chia hết cho 4.2=8 ( đpcm)
a) vì n lẻ nên n có dạng 2k+1 vậy n^2+4n+3=4k^2+1+8k+4+3
=4k^2+8+8k NX:8+8n chia hết cho 8 nên 4k^2 chia hết cho 8
vì 2k+1 lẻ nên k là số chẳn vậy k chia 8 dư 0;2;4;6 TH dư 0 dễ
nếu k chia 8 dư 2 thì 4k chia hết cho 8; nếu k chia 8 dư 4 thì k^2 chia hết cho 8
nếu k chia 8 dư 6 thì 4k^2 chia hết cho 8. bạn tự nhân lên sẽ rõ lí do
\(A=\left(n^2+3n-1\right)\left(n+2\right)-n^3+2=n^3+3n^2-n+2n^2+6n-2-n^3+2=\)
\(=5n^2+5n=5n\left(n+1\right)\)
Vậy A chia hết cho 5 với mọi n.
(Thậm chí còn chia hết cho 10 vì n(n+1) luôn chia hết cho 2)
Ta có : \(2n^3-6n^2-2n+n^2-3n-1-2n^3+1\)
=> \(-5n^2-5n=-5\left(n^2+n\right)\)Như vậy luôn chia hết cho 5 với mọi n
