Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
\(a,=x^4-3x^3+5x^3-15x^2-x^2+3x-5x+15\\ =\left(x-3\right)\left(x^3+5x^2-x-5\right)\\ =\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x^2-1\right)\\ =\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+5\right)\\ b,=2x^4-2x^3+x^3-x^2-8x^2+8x+5x-5\\ =\left(x-1\right)\left(2x^3+x^2-8x+5\right)\\ =\left(x-1\right)\left(2x^3+5x^2-4x^2-10x+2x+5\right)\\ =\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x^2-2x+1\right)\\ =\left(x-1\right)^3\left(2x+5\right)\)
2.
\(a,=n^3\left(n+2\right)-n\left(n+2\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n+2\right)\\ =\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
Đây là tích 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(1\cdot2\cdot3\cdot4=24\)
Suy ra đpcm
Bổ sung điều kiện câu b: n chẵn và n>4
\(b,=n\left(n^3-4n^2-4n+16\right)=n\left[n^2\left(n-4\right)-4\left(n-4\right)\right]\\ =\left(n-4\right)\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\)
Với n chẵn và \(n>4\) thì đây là tích 4 số nguyên chẵn liên tiếp nên chia hết cho \(2\cdot4\cdot6\cdot8=384\)
Có: \(\frac{4n^2}{4n^2+1}-\frac{4\left(n-1\right)^2}{4\left(n-1\right)^2+1}=\frac{-1}{4n^2+1}+\frac{1}{\left(2n-2\right)^2+1}\)
\(=\frac{-\left(2n-2\right)^2-1+4n^2+1}{\left(4n^2+1\right)\left[\left(2n-2\right)^2+1\right]}=\frac{4\left(2n-1\right)}{\left(4n^2-4n+1+4n\right)\left(4n^2-4n+1-6n+4\right)}\)
\(=\frac{4\left(2n-1\right)}{\left(4n^2-4n+1\right)^2+4\left(4n^2-4n+1\right)-16n^2+16n}=\frac{4\left(2n-1\right)}{\left(2n-1\right)^4+4}\)
\(\Rightarrow\frac{n^2}{4n^2+1}-\frac{\left(n-1\right)^2}{4\left(n-1\right)^2+1}=\frac{2n-1}{4+\left(2n-1\right)^4}\)
-> đpcm theo phương pháp quy nạp
Ta chứng minh \(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\) (1)
với mọi n \(\in\)N* , bằng phương pháp quy nạp
Với n = 1, ta có \(2^2=4=\frac{2.1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{3}\)
=> (1) đúng khi n = 1
Giả sử đã có (1) đúng khi n = k , k\(\in\)N* , tức là giả sử đã có :
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}\)
Ta chứng minh (1) đúng khi n = k + 1 , tức là ta sẽ chứng minh
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)
=> Từ giả thiết quy nạp ta có :
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}+\left(2k+2\right)^2\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{3}\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left[2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)\right]}{3}\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)
Từ các chứng minh trên , suy ra (1) đúng với mọi n \(\in\)N*
chứng minh bài này bằng phản chứng
phân tích thành nhân tử giả sử biểu thức đề bài cho là một số chính phương ta được
\(\left(n+1\right)^2n^2\left[\left(n-1\right)^2+1\right]=y^2\)
muốn pt trên đúng thi \(\left(n-1\right)^2+1\)cũng là một số chính phương. mà tổng của một số chính phương và 1 là một số chính phương khi và chỉ khi số chính phương đó là 0
mà với n>1 =>n-1>0=>mâu thuẫn
Phân tích thành nhân tử giả sử biểu thức đề bài cho là một số chính phương ta được
Muốn pt trên đúng thi cũng là một số chính phương. mà tổng của một số chính phương và 1 là một số chính phương khi và chỉ khi số chính phương đó là 0
Mà với n>1 =>n-1>0=>mâu thuan
Ta có đồng dư thức
\(3\equiv16\)(mod 13)
\(3^n\equiv16^n\)(mod 13)
\(3\equiv16\)(mod 13)
\(3^2\equiv16^2\)(mod 13)
\(16\equiv3\)(mod 13)
\(16^n\equiv3^n\)(mod 13)
\(4\equiv17\)(mod 13)
Suy ra: Ta có:
\(3^{n+2}+4^{2n+1}\equiv16^n\cdot16^2+3^n\cdot17\)(mod 13)
Suy ra: \(3^{n+2}+4^{2n+1}\equiv3^n\cdot16^2+3^n\cdot17\equiv3^n\left(16^2+17\right)\equiv3^n\cdot273\)(mod 13)
Vậy \(3^{n+2}+4^{2n+1}⋮13\)