Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đặt x/a=y/b=z/c=k
=>x=a.k,
y=b.k
z=c.k
=>(a^2k^2+b^2k^2+c^2k^2)(a^2+b^2+c^2)=k^2.(a^2+b^2+c^2)^2(1)
(ax+by+cz)^2=(a.a.k+b.b.k+c.c.k)^2=(a^2.k+b^2.k+c^2.k)^2
=k^2(a^2+b^2+c^2)(2)
từ (1)(2)=> nếu x/a=y/b=z/c thì (x2 + y2 + z2) (a2 + b2 + c2) = (ax + by + cz)2
=>
#)Giải :
Ta có: x/a = y/b =z/c =xa/a^2 =yb/b^2 =zc/c^2 = (ax+by+cz)/(a^2+b^2+c^2)
=>x/a = (ax+by+cz)/(a^2+b^2+c^2) (1)
mặt khác ta có: x/a=y/b=z/c <=> x^2/a^2 =y^2/b^2 =z^2/c^2 = (x^2+y^2+z^2 ) / (a^2+b^2+c^2)
=>x^2/a^2 = (x^2+y^2+z^2 ) / (a^2+b^2+c^2) (2)
từ (1) và (2) ta => (ax+by+cz)^2/(a^2+b^2+c^2)^2 = (x^2+y^2+z^2 ) / (a^2+b^2+c^2)
=> (x^2+y^2+z^2).(a^2+b^2+c^2)=(ax+by+cz)^2 => đpcm
ĐK a,b,c khác 0
Từ \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)\(\Rightarrow ay-bx=cx-az=bz-cy=0.\)
\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2=\left(cx-az\right)^2=\left(bz-cy\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(cx-az\right)^2+\left(bz-cy\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2y^2-2abxy+b^2x^2\right)+\left(c^2x^2-2acxz+a^2z^2\right)+\left(b^2z^2-2bczy+c^2y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+y^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+z^2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\right)\)
\(-2abxy-2bcyz-2acxz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz.\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2.\)
Giả Sử điều ta phải chứng mình là có:
\(\Rightarrow x^2a^2+x^2b^2+x^2c^2+y^2a^2+y^2b^2+y^2c^2+z^2a^2+z^2b^2+z^2c^2=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+\)
\(2axby+2bycz+2czax\)
\(\Rightarrow a^2x^2-a^2x^2+by^2-b^2y^2+c^2z^2-c^2z^2+x^2b^2+x^2c^2+y^2a^2+y^2c^2+z^2a^2+z^2b^2-\)
\(2axby-2bycz-2czax=0\)
\(\Rightarrow x^2b^2-2axby+a^2y^2+y^2c^2-2bycz+b^2z^2+z^2a^2-2czax+c^2x^2=0\)
\(\Rightarrow\left(xb-ay\right)^2+\left(yc-bz\right)^2+\left(za-cx\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}xb-ay=0\\yc-bz=0\\za-cx=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}xb=ay\\yc=bz\\za=cx\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\\\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\\\frac{z}{c}=\frac{x}{a}\end{cases}\Rightarrow}\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}}\)( mà giả thuyết cho ta x/a=y/b=z/c nên điều ta cần chứng minh đúng)
T I C K nha
Chúc bạn học tốt
C1 : Áp dụng BDT Bunhiacopxki
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)(Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\))
=> ĐPCM
Ta có: \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\Rightarrow b^2x^2=a^2y^2;b^2z^2=c^2y^2;c^2x^2=a^2z^2\)(1)
\(VP=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+axby+axby+bycz+bycz+czax+czax\)
\(=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2y^2+c^2x^2+a^2z^2\)(Do c/m ở (1))
\(=a^2\left(x^2+y^2+z^2\right)+b^2\left(x^2+y^2+z^2\right)+c^2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=VT\)