AA
8
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
2 tháng 1 2018
Ta có:
\(21b+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}+\frac{a}{3}+\frac{62a}{3}\ge2\sqrt{\frac{3}{a}.\frac{a}{3}}+\frac{62.3}{3}=2+62=64\left(a\ge3\right)\left(1\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{a}{3}\)và \(a=3\Leftrightarrow a=3\)
\(\frac{21}{b}+3b=\frac{21}{b}+\frac{7b}{3}+\frac{2b}{3}\ge2\sqrt{\frac{21}{b}.\frac{7b}{3}}+\frac{2.3}{3}=14+2=16\left(b\ge3\right)\left(2\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{21}{b}=\frac{7b}{3}\)và \(b=3\Leftrightarrow b=3\)
Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=3\)
AA
6
24 tháng 6 2017
\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3\left(x-y\right)^2}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left[\left(x-y\right)\left(x+y\right)\right]^2}{x^2y^2}-\dfrac{3\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x^2y^2}-\dfrac{3}{xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\dfrac{\left(x+y\right)^2-3xy}{x^2y^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2y^2}\right)\ge0\) (luôn đúng)
AA
2
22 tháng 3 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x+\frac{1}{2x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{2x}}=2\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{y\cdot\frac{2}{y}}=2\sqrt{2}\)
=> \(x+\frac{1}{2x}+y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{2}}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{1}{2}}\\y=\sqrt{2}\end{cases}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 11 2018
\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}=\dfrac{\sqrt{3xy}}{xy}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)
Tương tự \(\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}};\dfrac{\sqrt{1+x^3+z^3}}{xz}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{xz}}\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\ge\sqrt{3}.\dfrac{3}{\sqrt[3]{xyz}}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
20 tháng 10 2017
Note \(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2=\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+2\)
Nên ta sẽ đặt \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=t\ge2\). Khi đó
\(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2+2\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
\(t^2+2\ge3t\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t-1\right)\ge0\)
BĐT cuối đúng vì \(t\ge 2\)
AA
0
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x+\frac{1}{x-1}=\left[\left(x-1\right)+\frac{1}{x-1}\right]+1\ge2\sqrt{\left(x-1\right)\cdot\frac{1}{x-1}}+1=2+1=3\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = 2