Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐKXĐ: \(x\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}\right)^3+m\left(x-2\right)=1\)
Đặt \(\sqrt{x-2}=t\ge0\)
\(\Rightarrow t^3+mt^2=1\Leftrightarrow t^3+mt^2-1=0\)
Đặt \(f\left(t\right)=t^3+mt^2-1\)
Hàm \(f\left(t\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}f\left(t\right)=\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\left(t^3+mt^2-1\right)=\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}t^3\left(1+\dfrac{m}{t}-\dfrac{1}{t^3}\right)=+\infty>0\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 giá trị \(t_0>0\) sao cho \(f\left(t_0\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(t_0\right)< 0\Rightarrow f\left(t\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;t_0\right)\) hay 1 nghiệm \(t>0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có nghiệm \(x=2+t^2>2\)
Xét hàm số f ( x ) = m x − 1 3 . ( x 2 − 4 ) + x 4 – 3 trên các đoạn [−2; 1], [1; 2]
Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a)x^5 - 3x+3=0 b)x^5+x-1=0 c)x^4+x^3-3x^2+x+1=0
Lời giải:
a) $f(x)=x^5-3x+3$ liên tục trên $R$
$f(0)=3>0; f(-2)=-23<0\Rightarrow f(0)f(-2)<0$
Do đó pt $f(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(-2;0)$
Nghĩa là pt đã cho luôn có nghiệm.
b) $f(x)=x^5+x-1$ liên tục trên $R$
$f(0)=-1<0; f(1)=1>0\Rightarrow f(0)f(1)<0$
Do đó pt $f(x)=0$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(0;1)$
Hay pt đã cho luôn có nghiệm.
c) $f(x)=x^4+x^3-3x^2+x+1$ liên tục trên $R$
$f(0)=1>0; f(-1)=-3<0\Rightarrow f(0)f(-1)<0$
$\Rightarrow f(x)=0$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(-1;0)$
Hay pt đã cho luôn có nghiệm.
Đặt \(f\left(x\right)=x^4-\left(3m-2\right)x^3+mx-1\)
Hiển nhiên \(f\left(x\right)\) liên tục và xác định trên R
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^4-\left(3m-2\right)x^3+mx+1\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(a>0\) đủ lớn sao cho \(f\left(a\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(a\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;a\right)\) hay \(\left(0;+\infty\right)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4-\left(3m-2\right)x^3+mx-1\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(b< 0\) sao cho \(f\left(b\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(0\right),f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;0\right)\)
Vậy phương trình luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m
Đặt \(f\left(x\right)=m\left(x-1\right)^3\left(x^2-4\right)+x^4-3\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R
\(f\left(1\right)=-2< 0\)
\(f\left(2\right)=13>0\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1;2)
\(f\left(-2\right)=13>0\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2;1)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt
** PT thì phải có dấu bằng chứ bạn.
Đặt $f(x)=x^4+x^3-3x^2+x+1$. CMR $f(x)=0$ luôn có nghiệm
---------------------------
Lời giải:
Dễ thấy $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$
Ta có:
$f(0)=1>0$
$f(-1)=-3<0$
$\Rightarrow f(0).f(-1)<0$. Do đó pt $f(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(-1;0)$
$\Rightarrow f(x)=0$ luôn có nghiệm.
