K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

13 tháng 5 2017

Ta có:

\(\left|H\right|=\left|\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}\right|\le\dfrac{\left|xy\right|+\left|yz\right|+\left|zx\right|}{\left|xyz\right|}=\dfrac{1}{\left|x\right|}+\dfrac{1}{\left|y\right|}+\dfrac{1}{\left|z\right|}\le\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=1\)

\(\Rightarrow H\le1\) (đpcm)

a: Ta có: \(\left(ac+bd\right)^2-\left(ad+bc\right)^2\)

\(=a^2c^2+b^2d^2+2abcd-a^2d^2-b^2c^2-2abcd\)

\(=a^2\left(c^2-d^2\right)-b^2\left(c^2-d^2\right)\)

\(=\left(a^2-b^2\right)\left(c^2-d^2\right)\)

12 tháng 8 2021

Bạn có làm đc câu b ko, nếu đc thì làm nốt giùm mink nha

11 tháng 8 2021

a/ \(\left(a^2-b^2\right)\left(c^2-d^2\right)=a^2c^2-a^2d^2-b^2c^2+b^2d^2\)

\(=\left(a^2c^2+2abcd+b^2d^2\right)-\left(a^2d^2+2abcd+b^2c^2\right)\)

\(=\left(ac+bd\right)^2-\left(ad+bc\right)^2\)

11 tháng 8 2021

b/ \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=y=z\)

10 tháng 7 2015

\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\ge xy+yz+zx+2\left(xy+yz+zx\right)=3\left(xy+yz+zx\right)\)

Áp dụng Côsi: 

\(xy+zx\ge2\sqrt{xy.zx}=2x\sqrt{yz}\)

Tương tự: \(xy+yz\ge2y\sqrt{zx};\text{ }yz+zx\ge2z\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)\ge2\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)

24 tháng 1 2017

\(\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}=\frac{y^2-xz}{y\left(1-xz\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-yz}{x-xyz}=\frac{y^2-xz}{y-xyz}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{x^2-yz}{x-xyz}=\frac{y^2-xz}{y-xyz}=\frac{x^2-y^2+xz-yz}{x-xyz-y+xyz}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+z\left(x-y\right)}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y+z\right)}{x-y}=x+y+z\)

\(\Rightarrow\frac{x^2-yz}{x-xyz}=x+y+z\)

\(\Rightarrow x^2-yz=\left(x-xyz\right)\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow x^2-yz=x\left(x-xyz\right)+y\left(x-xyz\right)+z\left(x-xyz\right)\)

\(\Rightarrow x^2-yz=x^2-x^2yz+xy-xy^2z+xz-xyz^2\)

\(\Rightarrow-yz-xy-xz=-x^2yz-xy^2z-xyz^2\)

\(\Rightarrow-\left(yz+xy+xz\right)=-\left(x^2yz+xy^2z+xyz^2\right)\)

\(\Rightarrow yz+xy+xz=x^2yz+xy^2z+xyz^2\)

\(\Rightarrow yz+xy+xz=xyz\left(x+y+z\right)\)

Vậy nếu \(\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}=\frac{y^2-xz}{y\left(1-xz\right)}\) thì \(yz+xy+xz=xyz\left(x+y+z\right)\)