Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh bất đẳng thức sau:\(\frac{x}{y}\) + \(\frac{y}{x}\)lớn hơn hoặc bằng 2( với x,y cùng dấu)
Vì x, y cùng dấu nên \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}>0\\\frac{y}{x}>0\end{cases}}\)
Ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}\right)+2=\left(\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}\right)^2+2\ge2\)
Dấu = xảy ra khi x = y # 0
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}>2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2>2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2>0\)(luôn đúng)
b)áp dụng Bđt cô si
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}}=2\)
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=2\)\(\Rightarrow-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge-6\)
\(\Rightarrow P\ge2+\left(-5\right)+5=1\)
Dấu = khi x=y
a)Áp dụng Bđt Cô si ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=2\)
Dấu = khi \(x=y\)
Ta có suy ra
(x^2+y^2)/xy>=2 suy ra x^2 +y^2 >=2xy
chuyển 2xy sang ta có
x^2 +Y^2-2xy>=0 suy ra (x-y) ^2 >=0 với mọi x ,y
dấu "=" xảy ra khi
x-y=0 suy ra x= y
ĐPCM
giả sử x/y+y/x>/2
<=> x^2+y^2/xy>/2
<=> x^2+y^2>/2xy
<=>x^2-2xy+y^2>/0
<=> (x-y)^2>/0 (đúng)
vậy x/y+y/x>/0
dấu "=" xảy ra <=> x-y=0<=> x=y
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)( bđt cauchy )
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)( bđt cauchy )
\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{\left(x+y\right)^2}\ge2+\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}{\left(x+y\right)^2}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
Lời giải:
Ta có:
$x^4+y^4+(x+y)^4=(x^4+y^4+2x^2y^2)-2x^2y^2+[(x+y)^2]^2$
$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+2xy+y^2)^2$
$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+y^2)^2+(2xy)^2+4xy(x^2+y^2)$
$=2(x^2+y^2)^2+2x^2y^2+4xy(x^2+y^2)$
$=2[(x^2+y^2)^2+2xy(x^2+y^2)+(xy)^2]$
$=2(x^2+y^2+xy)^2$
Ta có đpcm.
áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}\)
⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\left(đpcm\right)\)
Cách khác:
Đặt \(A=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)
\(A=\dfrac{x^2+y^2}{xy}\)
Lại có:\(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge\dfrac{2xy}{xy}=2\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y